Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53723 / 50260
↖ ↑ ↗
← S 68.823866°
E115.109253°		 ← 220.66 m → S 68.823866°
E115.114746°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
S 68.825850°
E115.109253°		 ← 220.64 m →
48 682 m²		 S 68.825850°
E115.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819755554199219 y=0.766914367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819755554199219 × 216)
    floor (0.819755554199219 × 65536)
    floor (53723.5)     		tx = 53723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766914367675781 × 216)
    floor (0.766914367675781 × 65536)
    floor (50260.5)     		ty = 50260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53723 / 50260 ti = "16/53723/50260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53723/50260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53723 ÷ 216
    53723 ÷ 65536     		x = 0.819747924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50260 ÷ 216
    50260 ÷ 65536     		y = 0.76690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819747924804688 × 2 - 1) × π
    0.639495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00903546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.5338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67702449630804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00903546} λ = 2.00903546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67702449630804))-π/2
    2×atan(0.186929358354502)-π/2
    2×0.18479663170326-π/2
    0.369593263406521-1.57079632675     		φ = -1.20120306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00903546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.109253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20120306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.823866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53723 KachelY 50260 2.00903546 -1.20120306 115.109253 -68.823866
    Oben rechts KachelX + 1 53724 KachelY 50260 2.00913134 -1.20120306 115.114746 -68.823866
    Unten links KachelX 53723 KachelY + 1 50261 2.00903546 -1.20123769 115.109253 -68.825850
    Unten rechts KachelX + 1 53724 KachelY + 1 50261 2.00913134 -1.20123769 115.114746 -68.825850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20120306--1.20123769) × R
    3.46299999998134e-05 × 6371000     		dl = 220.627729998811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20120306--1.20123769) × R
    3.46299999998134e-05 × 6371000     		dr = 220.627729998811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00903546-2.00913134) × cos(-1.20120306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36123619357457 × 6371000     		do = 220.661663474448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00903546-2.00913134) × cos(-1.20123769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36120390177125 × 6371000     		du = 220.641937978598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20120306)-sin(-1.20123769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36123619357457-0.36120390177125)×R²
    abs(2.00913134-2.00903546)×3.22918033199837e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22918033199837e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22918033199837e-05×40589641000000     		ar = 48681.9059192245m²