Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53720 / 50250
↖ ↑ ↗
← S 68.804014°
E115.092773°		 ← 220.86 m → S 68.804014°
E115.098267°		 →
↑
220.82 m
↓
↑
220.82 m
↓
S 68.806000°
E115.092773°		 ← 220.84 m →
48 768 m²		 S 68.806000°
E115.098267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819709777832031 y=0.766761779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819709777832031 × 216)
    floor (0.819709777832031 × 65536)
    floor (53720.5)     		tx = 53720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766761779785156 × 216)
    floor (0.766761779785156 × 65536)
    floor (50250.5)     		ty = 50250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53720 / 50250 ti = "16/53720/50250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53720/50250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53720 ÷ 216
    53720 ÷ 65536     		x = 0.8197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50250 ÷ 216
    50250 ÷ 65536     		y = 0.766754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8197021484375 × 2 - 1) × π
    0.639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00874784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.53350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67606575831564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00874784} λ = 2.00874784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67606575831564))-π/2
    2×atan(0.187108660570441)-π/2
    2×0.184969874557682-π/2
    0.369939749115364-1.57079632675     		φ = -1.20085658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00874784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.092773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20085658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.804014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53720 KachelY 50250 2.00874784 -1.20085658 115.092773 -68.804014
    Oben rechts KachelX + 1 53721 KachelY 50250 2.00884372 -1.20085658 115.098267 -68.804014
    Unten links KachelX 53720 KachelY + 1 50251 2.00874784 -1.20089124 115.092773 -68.806000
    Unten rechts KachelX + 1 53721 KachelY + 1 50251 2.00884372 -1.20089124 115.098267 -68.806000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20085658--1.20089124) × R
    3.46600000000752e-05 × 6371000     		dl = 220.818860000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20085658--1.20089124) × R
    3.46600000000752e-05 × 6371000     		dr = 220.818860000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00874784-2.00884372) × cos(-1.20085658) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.361559255597805 × 6371000     		do = 220.859006390495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00874784-2.00884372) × cos(-1.20089124) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.361526940159709 × 6371000     		du = 220.839266457307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20085658)-sin(-1.20089124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361559255597805-0.361526940159709)×R²
    abs(2.00884372-2.00874784)×3.23154380960644e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.23154380960644e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.23154380960644e-05×40589641000000     		ar = 48767.6545420541m²