Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53707 / 20986
↖ ↑ ↗
← N 54.181726°
E115.021362°		 ← 357.48 m → N 54.181726°
E115.026856°		 →
↑
357.48 m
↓
↑
357.48 m
↓
N 54.178512°
E115.021362°		 ← 357.51 m →
127 796 m²		 N 54.178512°
E115.026856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819511413574219 y=0.320228576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819511413574219 × 216)
    floor (0.819511413574219 × 65536)
    floor (53707.5)     		tx = 53707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320228576660156 × 216)
    floor (0.320228576660156 × 65536)
    floor (20986.5)     		ty = 20986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53707 / 20986 ti = "16/53707/20986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53707/20986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53707 ÷ 216
    53707 ÷ 65536     		x = 0.819503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20986 ÷ 216
    20986 ÷ 65536     		y = 0.320220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819503784179688 × 2 - 1) × π
    0.639007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00750148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320220947265625 × 2 - 1) × π
    0.35955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.129585102647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00750148} λ = 2.00750148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.129585102647))-π/2
    2×atan(3.09437238684304)-π/2
    2×1.25822292520156-π/2
    2.51644585040312-1.57079632675     		φ = 0.94564952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00750148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.021362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94564952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.181726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53707 KachelY 20986 2.00750148 0.94564952 115.021362 54.181726
    Oben rechts KachelX + 1 53708 KachelY 20986 2.00759736 0.94564952 115.026856 54.181726
    Unten links KachelX 53707 KachelY + 1 20987 2.00750148 0.94559341 115.021362 54.178512
    Unten rechts KachelX + 1 53708 KachelY + 1 20987 2.00759736 0.94559341 115.026856 54.178512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94564952-0.94559341) × R
    5.61100000000536e-05 × 6371000     		dl = 357.476810000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94564952-0.94559341) × R
    5.61100000000536e-05 × 6371000     		dr = 357.476810000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00750148-2.00759736) × cos(0.94564952) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.585216321531311 × 6371000     		do = 357.480256127323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00750148-2.00759736) × cos(0.94559341) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.585261818930566 × 6371000     		du = 357.508048280994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94564952)-sin(0.94559341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585216321531311-0.585261818930566)×R²
    abs(2.00759736-2.00750148)×4.54973992547458e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54973992547458e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54973992547458e-05×40589641000000     		ar = 127795.86915741m²