Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53707 / 20982
↖ ↑ ↗
← N 54.194584°
E115.021362°		 ← 357.37 m → N 54.194584°
E115.026856°		 →
↑
357.41 m
↓
↑
357.41 m
↓
N 54.191369°
E115.021362°		 ← 357.40 m →
127 733 m²		 N 54.191369°
E115.026856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819511413574219 y=0.320167541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819511413574219 × 216)
    floor (0.819511413574219 × 65536)
    floor (53707.5)     		tx = 53707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320167541503906 × 216)
    floor (0.320167541503906 × 65536)
    floor (20982.5)     		ty = 20982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53707 / 20982 ti = "16/53707/20982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53707/20982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53707 ÷ 216
    53707 ÷ 65536     		x = 0.819503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20982 ÷ 216
    20982 ÷ 65536     		y = 0.320159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819503784179688 × 2 - 1) × π
    0.639007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00750148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320159912109375 × 2 - 1) × π
    0.35968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12996859784396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00750148} λ = 2.00750148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12996859784396))-π/2
    2×atan(3.09555929136255)-π/2
    2×1.25833512157869-π/2
    2.51667024315737-1.57079632675     		φ = 0.94587392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00750148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.021362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94587392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.194584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53707 KachelY 20982 2.00750148 0.94587392 115.021362 54.194584
    Oben rechts KachelX + 1 53708 KachelY 20982 2.00759736 0.94587392 115.026856 54.194584
    Unten links KachelX 53707 KachelY + 1 20983 2.00750148 0.94581782 115.021362 54.191369
    Unten rechts KachelX + 1 53708 KachelY + 1 20983 2.00759736 0.94581782 115.026856 54.191369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94587392-0.94581782) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dl = 357.413100000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94587392-0.94581782) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dr = 357.413100000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00750148-2.00759736) × cos(0.94587392) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.585034345951513 × 6371000     		do = 357.369096075079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00750148-2.00759736) × cos(0.94581782) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58507984260866 × 6371000     		du = 357.396887775432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94587392)-sin(0.94581782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585034345951513-0.58507984260866)×R²
    abs(2.00759736-2.00750148)×4.54966571464821e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54966571464821e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54966571464821e-05×40589641000000     		ar = 127733.363064607m²