Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53707 / 10822
↖ ↑ ↗
← N 81.695465°
W 32.489319°		 ← 44.11 m → N 81.695465°
W 32.486572°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.695068°
W 32.489319°		 ← 44.12 m →
1 945 m²		 N 81.695068°
W 32.486572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409755706787109 y=0.0825691223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409755706787109 × 217)
    floor (0.409755706787109 × 131072)
    floor (53707.5)     		tx = 53707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825691223144531 × 217)
    floor (0.0825691223144531 × 131072)
    floor (10822.5)     		ty = 10822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53707 / 10822 ti = "17/53707/10822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53707/10822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53707 ÷ 217
    53707 ÷ 131072     		x = 0.409751892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10822 ÷ 217
    10822 ÷ 131072     		y = 0.0825653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409751892089844 × 2 - 1) × π
    -0.180496215820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.56704559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0825653076171875 × 2 - 1) × π
    0.834869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62281952581175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56704559} λ = -0.56704559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62281952581175))-π/2
    2×atan(13.7745064612366)-π/2
    2×1.49832558383179-π/2
    2.99665116766358-1.57079632675     		φ = 1.42585484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56704559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.489319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42585484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.695465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53707 KachelY 10822 -0.56704559 1.42585484 -32.489319 81.695465
    Oben rechts KachelX + 1 53708 KachelY 10822 -0.56699765 1.42585484 -32.486572 81.695465
    Unten links KachelX 53707 KachelY + 1 10823 -0.56704559 1.42584792 -32.489319 81.695068
    Unten rechts KachelX + 1 53708 KachelY + 1 10823 -0.56699765 1.42584792 -32.486572 81.695068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42585484-1.42584792) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42585484-1.42584792) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56704559--0.56699765) × cos(1.42585484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144434530301182 × 6371000     		do = 44.114023298762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56704559--0.56699765) × cos(1.42584792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144441377737087 × 6371000     		du = 44.1161146819404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42585484)-sin(1.42584792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144434530301182-0.144441377737087)×R²
    abs(-0.56699765--0.56704559)×6.84743590517733e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84743590517733e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84743590517733e-06×40589641000000     		ar = 1944.91516339139m²