Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53706 / 21866
↖ ↑ ↗
← N 51.255040°
E115.015869°		 ← 382.26 m → N 51.255040°
E115.021362°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
N 51.251601°
E115.015869°		 ← 382.29 m →
146 154 m²		 N 51.251601°
E115.021362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819496154785156 y=0.333656311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819496154785156 × 216)
    floor (0.819496154785156 × 65536)
    floor (53706.5)     		tx = 53706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333656311035156 × 216)
    floor (0.333656311035156 × 65536)
    floor (21866.5)     		ty = 21866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53706 / 21866 ti = "16/53706/21866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53706/21866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53706 ÷ 216
    53706 ÷ 65536     		x = 0.819488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21866 ÷ 216
    21866 ÷ 65536     		y = 0.333648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819488525390625 × 2 - 1) × π
    0.63897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00740561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333648681640625 × 2 - 1) × π
    0.33270263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0452161593157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00740561} λ = 2.00740561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0452161593157))-π/2
    2×atan(2.84401321716439)-π/2
    2×1.2326827623219-π/2
    2.4653655246438-1.57079632675     		φ = 0.89456920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00740561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89456920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.255040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53706 KachelY 21866 2.00740561 0.89456920 115.015869 51.255040
    Oben rechts KachelX + 1 53707 KachelY 21866 2.00750148 0.89456920 115.021362 51.255040
    Unten links KachelX 53706 KachelY + 1 21867 2.00740561 0.89450919 115.015869 51.251601
    Unten rechts KachelX + 1 53707 KachelY + 1 21867 2.00750148 0.89450919 115.021362 51.251601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89456920-0.89450919) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89456920-0.89450919) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00740561-2.00750148) × cos(0.89456920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625854872408275 × 6371000     		do = 382.264501861877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00740561-2.00750148) × cos(0.89450919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625901675452845 × 6371000     		du = 382.293088589098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89456920)-sin(0.89450919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625854872408275-0.625901675452845)×R²
    abs(2.00750148-2.00740561)×4.68030445693879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68030445693879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68030445693879e-05×40589641000000     		ar = 146154.247288755m²