Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53706 / 10823
↖ ↑ ↗
← N 81.695068°
W 32.492065°		 ← 44.11 m → N 81.695068°
W 32.489319°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.694671°
W 32.492065°		 ← 44.11 m →
1 947 m²		 N 81.694671°
W 32.489319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409748077392578 y=0.0825767517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409748077392578 × 217)
    floor (0.409748077392578 × 131072)
    floor (53706.5)     		tx = 53706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825767517089844 × 217)
    floor (0.0825767517089844 × 131072)
    floor (10823.5)     		ty = 10823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53706 / 10823 ti = "17/53706/10823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53706/10823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53706 ÷ 217
    53706 ÷ 131072     		x = 0.409744262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10823 ÷ 217
    10823 ÷ 131072     		y = 0.0825729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409744262695312 × 2 - 1) × π
    -0.180511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56709352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0825729370117188 × 2 - 1) × π
    0.834854125976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.62277158891213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56709352} λ = -0.56709352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62277158891213))-π/2
    2×atan(13.7738461699293)-π/2
    2×1.49832212187791-π/2
    2.99664424375583-1.57079632675     		φ = 1.42584792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56709352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.492065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42584792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.695068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53706 KachelY 10823 -0.56709352 1.42584792 -32.492065 81.695068
    Oben rechts KachelX + 1 53707 KachelY 10823 -0.56704559 1.42584792 -32.489319 81.695068
    Unten links KachelX 53706 KachelY + 1 10824 -0.56709352 1.42584099 -32.492065 81.694671
    Unten rechts KachelX + 1 53707 KachelY + 1 10824 -0.56704559 1.42584099 -32.489319 81.694671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42584792-1.42584099) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42584792-1.42584099) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56709352--0.56704559) × cos(1.42584792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144441377737087 × 6371000     		do = 44.1069123218207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56709352--0.56704559) × cos(1.42584099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144448235061199 × 6371000     		du = 44.109006288232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42584792)-sin(1.42584099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144441377737087-0.144448235061199)×R²
    abs(-0.56704559--0.56709352)×6.85732411212503e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.85732411212503e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.85732411212503e-06×40589641000000     		ar = 1947.4118344786m²