Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53705 / 21699
↖ ↑ ↗
← N 51.825593°
E115.010376°		 ← 377.54 m → N 51.825593°
E115.015869°		 →
↑
377.55 m
↓
↑
377.55 m
↓
N 51.822198°
E115.010376°		 ← 377.57 m →
142 544 m²		 N 51.822198°
E115.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819480895996094 y=0.331108093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819480895996094 × 216)
    floor (0.819480895996094 × 65536)
    floor (53705.5)     		tx = 53705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331108093261719 × 216)
    floor (0.331108093261719 × 65536)
    floor (21699.5)     		ty = 21699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53705 / 21699 ti = "16/53705/21699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53705/21699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53705 ÷ 216
    53705 ÷ 65536     		x = 0.819473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21699 ÷ 216
    21699 ÷ 65536     		y = 0.331100463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819473266601562 × 2 - 1) × π
    0.638946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00730973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331100463867188 × 2 - 1) × π
    0.337799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0612270837888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00730973} λ = 2.00730973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0612270837888))-π/2
    2×atan(2.88991498226084)-π/2
    2×1.23766178421576-π/2
    2.47532356843152-1.57079632675     		φ = 0.90452724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00730973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.010376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90452724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.825593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53705 KachelY 21699 2.00730973 0.90452724 115.010376 51.825593
    Oben rechts KachelX + 1 53706 KachelY 21699 2.00740561 0.90452724 115.015869 51.825593
    Unten links KachelX 53705 KachelY + 1 21700 2.00730973 0.90446798 115.010376 51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 53706 KachelY + 1 21700 2.00740561 0.90446798 115.015869 51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90452724-0.90446798) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dl = 377.545460000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90452724-0.90446798) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dr = 377.545460000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00730973-2.00740561) × cos(0.90452724) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		do = 377.54121719415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00730973-2.00740561) × cos(0.90446798) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 377.569673807647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90452724)-sin(0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618057301248822-0.61810388640811)×R²
    abs(2.00740561-2.00730973)×4.65851592877931e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.65851592877931e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.65851592877931e-05×40589641000000     		ar = 142544.344388766m²