Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53705 / 10821
↖ ↑ ↗
← N 81.695861°
W 32.494812°		 ← 44.11 m → N 81.695861°
W 32.492065°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.695465°
W 32.494812°		 ← 44.11 m →
1 945 m²		 N 81.695465°
W 32.492065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409740447998047 y=0.0825614929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409740447998047 × 217)
    floor (0.409740447998047 × 131072)
    floor (53705.5)     		tx = 53705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825614929199219 × 217)
    floor (0.0825614929199219 × 131072)
    floor (10821.5)     		ty = 10821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53705 / 10821 ti = "17/53705/10821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53705/10821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53705 ÷ 217
    53705 ÷ 131072     		x = 0.409736633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10821 ÷ 217
    10821 ÷ 131072     		y = 0.0825576782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409736633300781 × 2 - 1) × π
    -0.180526733398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.56714146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0825576782226562 × 2 - 1) × π
    0.834884643554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.62286746271137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56714146} λ = -0.56714146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62286746271137))-π/2
    2×atan(13.7751667841969)-π/2
    2×1.49832904562145-π/2
    2.99665809124291-1.57079632675     		φ = 1.42586176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56714146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.494812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42586176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.695861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53705 KachelY 10821 -0.56714146 1.42586176 -32.494812 81.695861
    Oben rechts KachelX + 1 53706 KachelY 10821 -0.56709352 1.42586176 -32.492065 81.695861
    Unten links KachelX 53705 KachelY + 1 10822 -0.56714146 1.42585484 -32.494812 81.695465
    Unten rechts KachelX + 1 53706 KachelY + 1 10822 -0.56709352 1.42585484 -32.492065 81.695465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42586176-1.42585484) × R
    6.92000000013238e-06 × 6371000     		dl = 44.0873200008434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42586176-1.42585484) × R
    6.92000000013238e-06 × 6371000     		dr = 44.0873200008434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56714146--0.56709352) × cos(1.42586176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14442768285836 × 6371000     		do = 44.111931913471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56714146--0.56709352) × cos(1.42585484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144434530301182 × 6371000     		du = 44.114023298762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42586176)-sin(1.42585484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14442768285836-0.144434530301182)×R²
    abs(-0.56709352--0.56714146)×6.84744282186678e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84744282186678e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84744282186678e-06×40589641000000     		ar = 1944.8229600069m²