Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53703 / 20965
↖ ↑ ↗
← N 54.249180°
E114.999390°		 ← 356.86 m → N 54.249180°
E115.004883°		 →
↑
356.90 m
↓
↑
356.90 m
↓
N 54.245970°
E114.999390°		 ← 356.89 m →
127 369 m²		 N 54.245970°
E115.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819450378417969 y=0.319908142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819450378417969 × 216)
    floor (0.819450378417969 × 65536)
    floor (53703.5)     		tx = 53703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319908142089844 × 216)
    floor (0.319908142089844 × 65536)
    floor (20965.5)     		ty = 20965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53703 / 20965 ti = "16/53703/20965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53703/20965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53703 ÷ 216
    53703 ÷ 65536     		x = 0.819442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20965 ÷ 216
    20965 ÷ 65536     		y = 0.319900512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819442749023438 × 2 - 1) × π
    0.638885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00711799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319900512695312 × 2 - 1) × π
    0.360198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13159845243105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00711799} λ = 2.00711799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13159845243105))-π/2
    2×atan(3.10060871666988)-π/2
    2×1.25881156700676-π/2
    2.51762313401351-1.57079632675     		φ = 0.94682681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00711799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.999390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94682681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.249180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53703 KachelY 20965 2.00711799 0.94682681 114.999390 54.249180
    Oben rechts KachelX + 1 53704 KachelY 20965 2.00721386 0.94682681 115.004883 54.249180
    Unten links KachelX 53703 KachelY + 1 20966 2.00711799 0.94677079 114.999390 54.245970
    Unten rechts KachelX + 1 53704 KachelY + 1 20966 2.00721386 0.94677079 115.004883 54.245970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94682681-0.94677079) × R
    5.60200000000455e-05 × 6371000     		dl = 356.90342000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94682681-0.94677079) × R
    5.60200000000455e-05 × 6371000     		dr = 356.90342000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00711799-2.00721386) × cos(0.94682681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584261278557662 × 6371000     		do = 356.859643427576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00711799-2.00721386) × cos(0.94677079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584306741546992 × 6371000     		du = 356.887411665446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94682681)-sin(0.94677079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584261278557662-0.584306741546992)×R²
    abs(2.00721386-2.00711799)×4.54629893295033e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54629893295033e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54629893295033e-05×40589641000000     		ar = 127369.38252233m²