Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53701 / 21687
↖ ↑ ↗
← N 51.866316°
E114.988403°		 ← 377.16 m → N 51.866316°
E114.993896°		 →
↑
377.23 m
↓
↑
377.23 m
↓
N 51.862924°
E114.988403°		 ← 377.19 m →
142 280 m²		 N 51.862924°
E114.993896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819419860839844 y=0.330924987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819419860839844 × 216)
    floor (0.819419860839844 × 65536)
    floor (53701.5)     		tx = 53701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330924987792969 × 216)
    floor (0.330924987792969 × 65536)
    floor (21687.5)     		ty = 21687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53701 / 21687 ti = "16/53701/21687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53701/21687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53701 ÷ 216
    53701 ÷ 65536     		x = 0.819412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21687 ÷ 216
    21687 ÷ 65536     		y = 0.330917358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819412231445312 × 2 - 1) × π
    0.638824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00692624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330917358398438 × 2 - 1) × π
    0.338165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06237756937968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00692624} λ = 2.00692624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06237756937968))-π/2
    2×atan(2.89324170111091)-π/2
    2×1.23801715646506-π/2
    2.47603431293012-1.57079632675     		φ = 0.90523799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00692624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90523799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.866316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53701 KachelY 21687 2.00692624 0.90523799 114.988403 51.866316
    Oben rechts KachelX + 1 53702 KachelY 21687 2.00702211 0.90523799 114.993896 51.866316
    Unten links KachelX 53701 KachelY + 1 21688 2.00692624 0.90517878 114.988403 51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 53702 KachelY + 1 21688 2.00702211 0.90517878 114.993896 51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90523799-0.90517878) × R
    5.92100000000872e-05 × 6371000     		dl = 377.226910000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90523799-0.90517878) × R
    5.92100000000872e-05 × 6371000     		dr = 377.226910000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00692624-2.00702211) × cos(0.90523799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61749840111992 × 6371000     		do = 377.160471398593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00692624-2.00702211) × cos(0.90517878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 377.188916917263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90523799)-sin(0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61749840111992-0.617544972973626)×R²
    abs(2.00702211-2.00692624)×4.65718537056015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65718537056015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65718537056015e-05×40589641000000     		ar = 142280.444449056m²