Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53700 / 50236
↖ ↑ ↗
← S 68.776191°
E114.982910°		 ← 221.11 m → S 68.776191°
E114.988403°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 68.778179°
E114.982910°		 ← 221.09 m →
48 880 m²		 S 68.778179°
E114.988403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819404602050781 y=0.766548156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819404602050781 × 216)
    floor (0.819404602050781 × 65536)
    floor (53700.5)     		tx = 53700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766548156738281 × 216)
    floor (0.766548156738281 × 65536)
    floor (50236.5)     		ty = 50236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53700 / 50236 ti = "16/53700/50236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53700/50236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53700 ÷ 216
    53700 ÷ 65536     		x = 0.81939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50236 ÷ 216
    50236 ÷ 65536     		y = 0.76654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81939697265625 × 2 - 1) × π
    0.6387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00683037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.5330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67472352512628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00683037} λ = 2.00683037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67472352512628))-π/2
    2×atan(0.18735997264665)-π/2
    2×0.185212674858089-π/2
    0.370425349716179-1.57079632675     		φ = -1.20037098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00683037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20037098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.776191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53700 KachelY 50236 2.00683037 -1.20037098 114.982910 -68.776191
    Oben rechts KachelX + 1 53701 KachelY 50236 2.00692624 -1.20037098 114.988403 -68.776191
    Unten links KachelX 53700 KachelY + 1 50237 2.00683037 -1.20040568 114.982910 -68.778179
    Unten rechts KachelX + 1 53701 KachelY + 1 50237 2.00692624 -1.20040568 114.988403 -68.778179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20037098--1.20040568) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20037098--1.20040568) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00683037-2.00692624) × cos(-1.20037098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36201196168954 × 6371000     		do = 221.112478793675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00683037-2.00692624) × cos(-1.20040568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361979615052908 × 6371000     		du = 221.092721863619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20037098)-sin(-1.20040568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36201196168954-0.361979615052908)×R²
    abs(2.00692624-2.00683037)×3.23466366319858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23466366319858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23466366319858e-05×40589641000000     		ar = 48879.9699395838m²