Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53700 / 10820
↖ ↑ ↗
← N 81.696258°
W 32.508545°		 ← 44.10 m → N 81.696258°
W 32.505799°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.695861°
W 32.508545°		 ← 44.10 m →
1 947 m²		 N 81.695861°
W 32.505799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409702301025391 y=0.0825538635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409702301025391 × 217)
    floor (0.409702301025391 × 131072)
    floor (53700.5)     		tx = 53700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825538635253906 × 217)
    floor (0.0825538635253906 × 131072)
    floor (10820.5)     		ty = 10820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53700 / 10820 ti = "17/53700/10820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53700/10820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53700 ÷ 217
    53700 ÷ 131072     		x = 0.409698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10820 ÷ 217
    10820 ÷ 131072     		y = 0.082550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082550048828125 × 2 - 1) × π
    0.83489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62291539961099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56738114} λ = -0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62291539961099))-π/2
    2×atan(13.7758271388118)-π/2
    2×1.49833250724692-π/2
    2.99666501449383-1.57079632675     		φ = 1.42586869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42586869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.696258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53700 KachelY 10820 -0.56738114 1.42586869 -32.508545 81.696258
    Oben rechts KachelX + 1 53701 KachelY 10820 -0.56733321 1.42586869 -32.505799 81.696258
    Unten links KachelX 53700 KachelY + 1 10821 -0.56738114 1.42586176 -32.508545 81.695861
    Unten rechts KachelX + 1 53701 KachelY + 1 10821 -0.56733321 1.42586176 -32.505799 81.695861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42586869-1.42586176) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dl = 44.1510299990415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42586869-1.42586176) × R
    6.92999999984956e-06 × 6371000     		dr = 44.1510299990415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56738114--0.56733321) × cos(1.42586869) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.144420825513459 × 6371000     		do = 44.1006364529904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56738114--0.56733321) × cos(1.42586176) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.14442768285836 × 6371000     		du = 44.1027304257499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42586869)-sin(1.42586176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144420825513459-0.14442768285836)×R²
    abs(-0.56733321--0.56738114)×6.85734490127321e-06×R²
    4.79299999999183e-05×6.85734490127321e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×6.85734490127321e-06×40589641000000     		ar = 1947.13474852554m²