Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5370 / 5881
↖ ↑ ↗
← N 45.197522°
W 62.006836°		 ← 1 721.69 m → N 45.197522°
W 61.984863°		 →
↑
1 721.89 m
↓
↑
1 721.89 m
↓
N 45.182037°
W 62.006836°		 ← 1 722.16 m →
2 964 969 m²		 N 45.182037°
W 61.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.327789306640625 y=0.358978271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.327789306640625 × 214)
    floor (0.327789306640625 × 16384)
    floor (5370.5)     		tx = 5370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358978271484375 × 214)
    floor (0.358978271484375 × 16384)
    floor (5881.5)     		ty = 5881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5370 / 5881 ti = "14/5370/5881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5370/5881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5370 ÷ 214
    5370 ÷ 16384     		x = 0.3277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5881 ÷ 214
    5881 ÷ 16384     		y = 0.35894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.08222345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35894775390625 × 2 - 1) × π
    0.2821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.886257400175598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08222345} λ = -1.08222345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886257400175598))-π/2
    2×atan(2.42603296872399)-π/2
    2×1.17982095235448-π/2
    2.35964190470896-1.57079632675     		φ = 0.78884558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08222345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78884558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.197522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5370 KachelY 5881 -1.08222345 0.78884558 -62.006836 45.197522
    Oben rechts KachelX + 1 5371 KachelY 5881 -1.08183995 0.78884558 -61.984863 45.197522
    Unten links KachelX 5370 KachelY + 1 5882 -1.08222345 0.78857531 -62.006836 45.182037
    Unten rechts KachelX + 1 5371 KachelY + 1 5882 -1.08183995 0.78857531 -61.984863 45.182037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78884558-0.78857531) × R
    0.000270270000000017 × 6371000     		dl = 1721.89017000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78884558-0.78857531) × R
    0.000270270000000017 × 6371000     		dr = 1721.89017000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08222345--1.08183995) × cos(0.78884558) × R
    0.000383500000000092 × 0.704664892492653 × 6371000     		do = 1721.69258153252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08222345--1.08183995) × cos(0.78857531) × R
    0.000383500000000092 × 0.704856634201619 × 6371000     		du = 1722.1610599276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78884558)-sin(0.78857531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704664892492653-0.704856634201619)×R²
    abs(-1.08183995--1.08222345)×0.000191741708966853×R²
    0.000383500000000092×0.000191741708966853×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191741708966853×40589641000000     		ar = 2964968.88412256m²