Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5370 / 2819
↖ ↑ ↗
← N 81.513409°
W121.003418°		 ← 180.29 m → N 81.513409°
W120.992432°		 →
↑
180.30 m
↓
↑
180.30 m
↓
N 81.511788°
W121.003418°		 ← 180.32 m →
32 509 m²		 N 81.511788°
W120.992432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163894653320312 y=0.0860443115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163894653320312 × 215)
    floor (0.163894653320312 × 32768)
    floor (5370.5)     		tx = 5370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860443115234375 × 215)
    floor (0.0860443115234375 × 32768)
    floor (2819.5)     		ty = 2819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5370 / 2819 ti = "15/5370/2819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5370/2819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5370 ÷ 215
    5370 ÷ 32768     		x = 0.16387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2819 ÷ 215
    2819 ÷ 32768     		y = 0.086029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.6722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11190805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086029052734375 × 2 - 1) × π
    0.82794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60105617338425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11190805} λ = -2.11190805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60105617338425))-π/2
    2×atan(13.477965588826)-π/2
    2×1.49673685128124-π/2
    2.99347370256248-1.57079632675     		φ = 1.42267738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11190805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.003418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42267738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.513409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5370 KachelY 2819 -2.11190805 1.42267738 -121.003418 81.513409
    Oben rechts KachelX + 1 5371 KachelY 2819 -2.11171630 1.42267738 -120.992432 81.513409
    Unten links KachelX 5370 KachelY + 1 2820 -2.11190805 1.42264908 -121.003418 81.511788
    Unten rechts KachelX + 1 5371 KachelY + 1 2820 -2.11171630 1.42264908 -120.992432 81.511788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42267738-1.42264908) × R
    2.83000000000921e-05 × 6371000     		dl = 180.299300000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42267738-1.42264908) × R
    2.83000000000921e-05 × 6371000     		dr = 180.299300000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11190805--2.11171630) × cos(1.42267738) × R
    0.000191749999999935 × 0.147577938182221 × 6371000     		do = 180.287001717414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11190805--2.11171630) × cos(1.42264908) × R
    0.000191749999999935 × 0.147605928250276 × 6371000     		du = 180.32119548316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42267738)-sin(1.42264908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147577938182221-0.147605928250276)×R²
    abs(-2.11171630--2.11190805)×2.79900680553169e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79900680553169e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79900680553169e-05×40589641000000     		ar = 32508.7027667896m²