Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 537 / 157
↖ ↑ ↗
← N 81.996942°
W 85.605469°		 ← 2 721.31 m → N 81.996942°
W 85.429688°		 →
↑
2 725.45 m
↓
↑
2 725.45 m
↓
N 81.972431°
W 85.605469°		 ← 2 729.59 m →
7 428 069 m²		 N 81.972431°
W 85.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262451171875 y=0.076904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262451171875 × 211)
    floor (0.262451171875 × 2048)
    floor (537.5)     		tx = 537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.076904296875 × 211)
    floor (0.076904296875 × 2048)
    floor (157.5)     		ty = 157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 537 / 157 ti = "11/537/157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/537/157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 537 ÷ 211
    537 ÷ 2048     		x = 0.26220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 157 ÷ 211
    157 ÷ 2048     		y = 0.07666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49409729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07666015625 × 2 - 1) × π
    0.8466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.65992268611768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49409729} λ = -1.49409729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65992268611768))-π/2
    2×atan(14.295183839791)-π/2
    2×1.50095646928151-π/2
    3.00191293856301-1.57079632675     		φ = 1.43111661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49409729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43111661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.996942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 537 KachelY 157 -1.49409729 1.43111661 -85.605469 81.996942
    Oben rechts KachelX + 1 538 KachelY 157 -1.49102933 1.43111661 -85.429688 81.996942
    Unten links KachelX 537 KachelY + 1 158 -1.49409729 1.43068882 -85.605469 81.972431
    Unten rechts KachelX + 1 538 KachelY + 1 158 -1.49102933 1.43068882 -85.429688 81.972431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43111661-1.43068882) × R
    0.000427789999999817 × 6371000     		dl = 2725.45008999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43111661-1.43068882) × R
    0.000427789999999817 × 6371000     		dr = 2725.45008999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49409729--1.49102933) × cos(1.43111661) × R
    0.00306796000000009 × 0.139225957939388 × 6371000     		do = 2721.30683705865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49409729--1.49102933) × cos(1.43068882) × R
    0.00306796000000009 × 0.13964956878564 × 6371000     		du = 2729.58672328978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43111661)-sin(1.43068882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.139225957939388-0.13964956878564)×R²
    abs(-1.49102933--1.49409729)×0.000423610846251976×R²
    0.00306796000000009×0.000423610846251976×6371000²
    0.00306796000000009×0.000423610846251976×40589641000000     		ar = 7428069.28559281m²