Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53699 / 21055
↖ ↑ ↗
← N 53.959317°
E114.977417°		 ← 359.40 m → N 53.959317°
E114.982910°		 →
↑
359.39 m
↓
↑
359.39 m
↓
N 53.956085°
E114.977417°		 ← 359.43 m →
129 169 m²		 N 53.956085°
E114.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819389343261719 y=0.321281433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819389343261719 × 216)
    floor (0.819389343261719 × 65536)
    floor (53699.5)     		tx = 53699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321281433105469 × 216)
    floor (0.321281433105469 × 65536)
    floor (21055.5)     		ty = 21055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53699 / 21055 ti = "16/53699/21055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53699/21055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53699 ÷ 216
    53699 ÷ 65536     		x = 0.819381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21055 ÷ 216
    21055 ÷ 65536     		y = 0.321273803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819381713867188 × 2 - 1) × π
    0.638763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00673449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321273803710938 × 2 - 1) × π
    0.357452392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12296981049944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00673449} λ = 2.00673449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12296981049944))-π/2
    2×atan(3.0739697685361)-π/2
    2×1.25628204061517-π/2
    2.51256408123034-1.57079632675     		φ = 0.94176775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00673449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.977417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94176775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.959317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53699 KachelY 21055 2.00673449 0.94176775 114.977417 53.959317
    Oben rechts KachelX + 1 53700 KachelY 21055 2.00683037 0.94176775 114.982910 53.959317
    Unten links KachelX 53699 KachelY + 1 21056 2.00673449 0.94171134 114.977417 53.956085
    Unten rechts KachelX + 1 53700 KachelY + 1 21056 2.00683037 0.94171134 114.982910 53.956085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94176775-0.94171134) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dl = 359.388110000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94176775-0.94171134) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dr = 359.388110000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00673449-2.00683037) × cos(0.94176775) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		do = 359.400297868004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00673449-2.00683037) × cos(0.94171134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.588405155574787 × 6371000     		du = 359.428160122253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94176775)-sin(0.94171134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58835954341674-0.588405155574787)×R²
    abs(2.00683037-2.00673449)×4.56121580466595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.56121580466595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.56121580466595e-05×40589641000000     		ar = 129169.200499849m²