Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53699 / 10811
↖ ↑ ↗
← N 81.699827°
W 32.511291°		 ← 44.09 m → N 81.699827°
W 32.508545°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.699431°
W 32.511291°		 ← 44.09 m →
1 944 m²		 N 81.699431°
W 32.508545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409694671630859 y=0.0824851989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409694671630859 × 217)
    floor (0.409694671630859 × 131072)
    floor (53699.5)     		tx = 53699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824851989746094 × 217)
    floor (0.0824851989746094 × 131072)
    floor (10811.5)     		ty = 10811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53699 / 10811 ti = "17/53699/10811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53699/10811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53699 ÷ 217
    53699 ÷ 131072     		x = 0.409690856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10811 ÷ 217
    10811 ÷ 131072     		y = 0.0824813842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409690856933594 × 2 - 1) × π
    -0.180618286132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.56742908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0824813842773438 × 2 - 1) × π
    0.835037231445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.62334683170757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56742908} λ = -0.56742908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62334683170757))-π/2
    2×atan(13.7817717550534)-π/2
    2×1.49836365448816-π/2
    2.99672730897633-1.57079632675     		φ = 1.42593098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56742908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.511291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42593098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.699827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53699 KachelY 10811 -0.56742908 1.42593098 -32.511291 81.699827
    Oben rechts KachelX + 1 53700 KachelY 10811 -0.56738114 1.42593098 -32.508545 81.699827
    Unten links KachelX 53699 KachelY + 1 10812 -0.56742908 1.42592406 -32.511291 81.699431
    Unten rechts KachelX + 1 53700 KachelY + 1 10812 -0.56738114 1.42592406 -32.508545 81.699431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42593098-1.42592406) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42593098-1.42592406) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56742908--0.56738114) × cos(1.42593098) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.144359188259303 × 6371000     		do = 44.0910118999703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56742908--0.56738114) × cos(1.42592406) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.144366035771292 × 6371000     		du = 44.0931033063864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42593098)-sin(1.42592406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144359188259303-0.144366035771292)×R²
    abs(-0.56738114--0.56742908)×6.84751198806732e-06×R²
    4.79400000000796e-05×6.84751198806732e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×6.84751198806732e-06×40589641000000     		ar = 1943.90065288272m²