Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53698 / 50237
↖ ↑ ↗
← S 68.778179°
E114.971924°		 ← 221.09 m → S 68.778179°
E114.977417°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
S 68.780168°
E114.971924°		 ← 221.07 m →
48 890 m²		 S 68.780168°
E114.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819374084472656 y=0.766563415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819374084472656 × 216)
    floor (0.819374084472656 × 65536)
    floor (53698.5)     		tx = 53698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766563415527344 × 216)
    floor (0.766563415527344 × 65536)
    floor (50237.5)     		ty = 50237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53698 / 50237 ti = "16/53698/50237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53698/50237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53698 ÷ 216
    53698 ÷ 65536     		x = 0.819366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50237 ÷ 216
    50237 ÷ 65536     		y = 0.766555786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819366455078125 × 2 - 1) × π
    0.63873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00663862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766555786132812 × 2 - 1) × π
    -0.533111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67481939892552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00663862} λ = 2.00663862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67481939892552))-π/2
    2×atan(0.187342010595306)-π/2
    2×0.185195321902331-π/2
    0.370390643804661-1.57079632675     		φ = -1.20040568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00663862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20040568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.778179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53698 KachelY 50237 2.00663862 -1.20040568 114.971924 -68.778179
    Oben rechts KachelX + 1 53699 KachelY 50237 2.00673449 -1.20040568 114.977417 -68.778179
    Unten links KachelX 53698 KachelY + 1 50238 2.00663862 -1.20044039 114.971924 -68.780168
    Unten rechts KachelX + 1 53699 KachelY + 1 50238 2.00673449 -1.20044039 114.977417 -68.780168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20040568--1.20044039) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20040568--1.20044039) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00663862-2.00673449) × cos(-1.20040568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361979615052908 × 6371000     		do = 221.092721863619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00663862-2.00673449) × cos(-1.20044039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361947258658434 × 6371000     		du = 221.072958973593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20040568)-sin(-1.20044039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361979615052908-0.361947258658434)×R²
    abs(2.00673449-2.00663862)×3.23563944737426e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23563944737426e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23563944737426e-05×40589641000000     		ar = 48889.6867301389m²