Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53698 / 10818
↖ ↑ ↗
← N 81.697051°
W 32.514038°		 ← 44.11 m → N 81.697051°
W 32.511291°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.696655°
W 32.514038°		 ← 44.11 m →
1 945 m²		 N 81.696655°
W 32.511291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409687042236328 y=0.0825386047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409687042236328 × 217)
    floor (0.409687042236328 × 131072)
    floor (53698.5)     		tx = 53698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825386047363281 × 217)
    floor (0.0825386047363281 × 131072)
    floor (10818.5)     		ty = 10818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53698 / 10818 ti = "17/53698/10818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53698/10818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53698 ÷ 217
    53698 ÷ 131072     		x = 0.409683227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10818 ÷ 217
    10818 ÷ 131072     		y = 0.0825347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409683227539062 × 2 - 1) × π
    -0.180633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56747702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0825347900390625 × 2 - 1) × π
    0.834930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62301127341023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56747702} λ = -0.56747702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62301127341023))-π/2
    2×atan(13.7771479430116)-π/2
    2×1.49833943000526-π/2
    2.99667886001052-1.57079632675     		φ = 1.42588253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56747702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.514038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42588253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.697051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53698 KachelY 10818 -0.56747702 1.42588253 -32.514038 81.697051
    Oben rechts KachelX + 1 53699 KachelY 10818 -0.56742908 1.42588253 -32.511291 81.697051
    Unten links KachelX 53698 KachelY + 1 10819 -0.56747702 1.42587561 -32.514038 81.696655
    Unten rechts KachelX + 1 53699 KachelY + 1 10819 -0.56742908 1.42587561 -32.511291 81.696655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42588253-1.42587561) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42588253-1.42587561) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56747702--0.56742908) × cos(1.42588253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144407130593216 × 6371000     		do = 44.1056547226807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56747702--0.56742908) × cos(1.42587561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144413978056795 × 6371000     		du = 44.1077461143115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42588253)-sin(1.42587561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144407130593216-0.144413978056795)×R²
    abs(-0.56742908--0.56747702)×6.84746357901278e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84746357901278e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84746357901278e-06×40589641000000     		ar = 1944.54621547989m²