Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53697 / 10809
↖ ↑ ↗
← N 81.700620°
W 32.516784°		 ← 44.08 m → N 81.700620°
W 32.514038°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.700224°
W 32.516784°		 ← 44.08 m →
1 943 m²		 N 81.700224°
W 32.514038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409679412841797 y=0.0824699401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409679412841797 × 217)
    floor (0.409679412841797 × 131072)
    floor (53697.5)     		tx = 53697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824699401855469 × 217)
    floor (0.0824699401855469 × 131072)
    floor (10809.5)     		ty = 10809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53697 / 10809 ti = "17/53697/10809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53697/10809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53697 ÷ 217
    53697 ÷ 131072     		x = 0.409675598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10809 ÷ 217
    10809 ÷ 131072     		y = 0.0824661254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409675598144531 × 2 - 1) × π
    -0.180648803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56752495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0824661254882812 × 2 - 1) × π
    0.835067749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.62344270550681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56752495} λ = -0.56752495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62344270550681))-π/2
    2×atan(13.7830931292134)-π/2
    2×1.49837057429173-π/2
    2.99674114858347-1.57079632675     		φ = 1.42594482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56752495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.516784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42594482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.700620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53697 KachelY 10809 -0.56752495 1.42594482 -32.516784 81.700620
    Oben rechts KachelX + 1 53698 KachelY 10809 -0.56747702 1.42594482 -32.514038 81.700620
    Unten links KachelX 53697 KachelY + 1 10810 -0.56752495 1.42593790 -32.516784 81.700224
    Unten rechts KachelX + 1 53698 KachelY + 1 10810 -0.56747702 1.42593790 -32.514038 81.700224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42594482-1.42593790) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42594482-1.42593790) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56752495--0.56747702) × cos(1.42594482) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144345493214589 × 6371000     		do = 44.0776328293851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56752495--0.56747702) × cos(1.42593790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144352340740402 × 6371000     		du = 44.0797238037679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42594482)-sin(1.42593790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144345493214589-0.144352340740402)×R²
    abs(-0.56747702--0.56752495)×6.84752581342485e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.84752581342485e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.84752581342485e-06×40589641000000     		ar = 1943.3107962576m²