Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53695 / 50112
↖ ↑ ↗
← S 68.528235°
E114.955445°		 ← 223.57 m → S 68.528235°
E114.960937°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 68.530245°
E114.955445°		 ← 223.55 m →
49 980 m²		 S 68.530245°
E114.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819328308105469 y=0.764656066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819328308105469 × 216)
    floor (0.819328308105469 × 65536)
    floor (53695.5)     		tx = 53695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764656066894531 × 216)
    floor (0.764656066894531 × 65536)
    floor (50112.5)     		ty = 50112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53695 / 50112 ti = "16/53695/50112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53695/50112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53695 ÷ 216
    53695 ÷ 65536     		x = 0.819320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50112 ÷ 216
    50112 ÷ 65536     		y = 0.7646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819320678710938 × 2 - 1) × π
    0.638641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00635100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    -0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00635100} λ = 2.00635100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66283517402051))-π/2
    2×atan(0.18960066647185)-π/2
    2×0.18737649843559-π/2
    0.374752996871181-1.57079632675     		φ = -1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00635100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.955445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53695 KachelY 50112 2.00635100 -1.19604333 114.955445 -68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 53696 KachelY 50112 2.00644687 -1.19604333 114.960937 -68.528235
    Unten links KachelX 53695 KachelY + 1 50113 2.00635100 -1.19607842 114.955445 -68.530245
    Unten rechts KachelX + 1 53696 KachelY + 1 50113 2.00644687 -1.19607842 114.960937 -68.530245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19604333--1.19607842) × R
    3.50900000001264e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19604333--1.19607842) × R
    3.50900000001264e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00635100-2.00644687) × cos(-1.19604333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 223.574391967255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00635100-2.00644687) × cos(-1.19607842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366010024638734 × 6371000     		du = 223.554446746732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19604333)-sin(-1.19607842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.366010024638734)×R²
    abs(2.00644687-2.00635100)×3.26549114153529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26549114153529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26549114153529e-05×40589641000000     		ar = 49979.7016580294m²