Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53695 / 25151
↖ ↑ ↗
← N 38.552462°
E114.955445°		 ← 477.66 m → N 38.552462°
E114.960937°		 →
↑
477.70 m
↓
↑
477.70 m
↓
N 38.548166°
E114.955445°		 ← 477.69 m →
228 183 m²		 N 38.548166°
E114.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819328308105469 y=0.383781433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819328308105469 × 216)
    floor (0.819328308105469 × 65536)
    floor (53695.5)     		tx = 53695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383781433105469 × 216)
    floor (0.383781433105469 × 65536)
    floor (25151.5)     		ty = 25151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53695 / 25151 ti = "16/53695/25151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53695/25151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53695 ÷ 216
    53695 ÷ 65536     		x = 0.819320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25151 ÷ 216
    25151 ÷ 65536     		y = 0.383773803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819320678710938 × 2 - 1) × π
    0.638641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00635100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383773803710938 × 2 - 1) × π
    0.232452392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.730270728811935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00635100} λ = 2.00635100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730270728811935))-π/2
    2×atan(2.07564246783414)-π/2
    2×1.12183185659647-π/2
    2.24366371319294-1.57079632675     		φ = 0.67286739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00635100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.955445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67286739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.552462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53695 KachelY 25151 2.00635100 0.67286739 114.955445 38.552462
    Oben rechts KachelX + 1 53696 KachelY 25151 2.00644687 0.67286739 114.960937 38.552462
    Unten links KachelX 53695 KachelY + 1 25152 2.00635100 0.67279241 114.955445 38.548166
    Unten rechts KachelX + 1 53696 KachelY + 1 25152 2.00644687 0.67279241 114.960937 38.548166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67286739-0.67279241) × R
    7.49799999999468e-05 × 6371000     		dl = 477.697579999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67286739-0.67279241) × R
    7.49799999999468e-05 × 6371000     		dr = 477.697579999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00635100-2.00644687) × cos(0.67286739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782037837052056 × 6371000     		do = 477.659146548638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00635100-2.00644687) × cos(0.67279241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782084564710599 × 6371000     		du = 477.687687230997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67286739)-sin(0.67279241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782037837052056-0.782084564710599)×R²
    abs(2.00644687-2.00635100)×4.67276585421894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67276585421894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67276585421894e-05×40589641000000     		ar = 228183.435385655m²