Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53689 / 50211
↖ ↑ ↗
← S 68.726420°
E114.922485°		 ← 221.63 m → S 68.726420°
E114.927979°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 68.728413°
E114.922485°		 ← 221.61 m →
49 107 m²		 S 68.728413°
E114.927979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819236755371094 y=0.766166687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819236755371094 × 216)
    floor (0.819236755371094 × 65536)
    floor (53689.5)     		tx = 53689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766166687011719 × 216)
    floor (0.766166687011719 × 65536)
    floor (50211.5)     		ty = 50211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53689 / 50211 ti = "16/53689/50211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53689/50211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53689 ÷ 216
    53689 ÷ 65536     		x = 0.819229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50211 ÷ 216
    50211 ÷ 65536     		y = 0.766159057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819229125976562 × 2 - 1) × π
    0.638458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00577575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766159057617188 × 2 - 1) × π
    -0.532318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67232668014528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00577575} λ = 2.00577575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67232668014528))-π/2
    2×atan(0.187809584065919)-π/2
    2×0.185647003107291-π/2
    0.371294006214582-1.57079632675     		φ = -1.19950232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00577575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.922485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19950232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.726420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53689 KachelY 50211 2.00577575 -1.19950232 114.922485 -68.726420
    Oben rechts KachelX + 1 53690 KachelY 50211 2.00587163 -1.19950232 114.927979 -68.726420
    Unten links KachelX 53689 KachelY + 1 50212 2.00577575 -1.19953710 114.922485 -68.728413
    Unten rechts KachelX + 1 53690 KachelY + 1 50212 2.00587163 -1.19953710 114.927979 -68.728413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19950232--1.19953710) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19950232--1.19953710) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00577575-2.00587163) × cos(-1.19950232) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362821566794471 × 6371000     		do = 221.630091052176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00577575-2.00587163) × cos(-1.19953710) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362789156531801 × 6371000     		du = 221.610293195257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19950232)-sin(-1.19953710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362821566794471-0.362789156531801)×R²
    abs(2.00587163-2.00577575)×3.24102626695355e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24102626695355e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24102626695355e-05×40589641000000     		ar = 49107.3512516513m²