Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53689 / 25175
↖ ↑ ↗
← N 38.449287°
E114.922485°		 ← 478.39 m → N 38.449287°
E114.927979°		 →
↑
478.40 m
↓
↑
478.40 m
↓
N 38.444984°
E114.922485°		 ← 478.42 m →
228 870 m²		 N 38.444984°
E114.927979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819236755371094 y=0.384147644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819236755371094 × 216)
    floor (0.819236755371094 × 65536)
    floor (53689.5)     		tx = 53689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.384147644042969 × 216)
    floor (0.384147644042969 × 65536)
    floor (25175.5)     		ty = 25175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53689 / 25175 ti = "16/53689/25175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53689/25175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53689 ÷ 216
    53689 ÷ 65536     		x = 0.819229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25175 ÷ 216
    25175 ÷ 65536     		y = 0.384140014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819229125976562 × 2 - 1) × π
    0.638458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00577575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.384140014648438 × 2 - 1) × π
    0.231719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.727969757630173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00577575} λ = 2.00577575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.727969757630173))-π/2
    2×atan(2.07087196483175)-π/2
    2×1.12093148839079-π/2
    2.24186297678158-1.57079632675     		φ = 0.67106665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00577575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.922485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67106665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.449287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53689 KachelY 25175 2.00577575 0.67106665 114.922485 38.449287
    Oben rechts KachelX + 1 53690 KachelY 25175 2.00587163 0.67106665 114.927979 38.449287
    Unten links KachelX 53689 KachelY + 1 25176 2.00577575 0.67099156 114.922485 38.444984
    Unten rechts KachelX + 1 53690 KachelY + 1 25176 2.00587163 0.67099156 114.927979 38.444984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67106665-0.67099156) × R
    7.50899999999444e-05 × 6371000     		dl = 478.398389999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67106665-0.67099156) × R
    7.50899999999444e-05 × 6371000     		dr = 478.398389999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00577575-2.00587163) × cos(0.67106665) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.783158845409919 × 6371000     		do = 478.393739793426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00577575-2.00587163) × cos(0.67099156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.783205535793179 × 6371000     		du = 478.422260683142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67106665)-sin(0.67099156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783158845409919-0.783205535793179)×R²
    abs(2.00587163-2.00577575)×4.66903832598842e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66903832598842e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66903832598842e-05×40589641000000     		ar = 228869.617184109m²