Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53688 / 21713
↖ ↑ ↗
← N 51.778037°
E114.916992°		 ← 377.90 m → N 51.778037°
E114.922485°		 →
↑
377.93 m
↓
↑
377.93 m
↓
N 51.774638°
E114.916992°		 ← 377.93 m →
142 824 m²		 N 51.774638°
E114.922485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819221496582031 y=0.331321716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819221496582031 × 216)
    floor (0.819221496582031 × 65536)
    floor (53688.5)     		tx = 53688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331321716308594 × 216)
    floor (0.331321716308594 × 65536)
    floor (21713.5)     		ty = 21713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53688 / 21713 ti = "16/53688/21713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53688/21713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53688 ÷ 216
    53688 ÷ 65536     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21713 ÷ 216
    21713 ÷ 65536     		y = 0.331314086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331314086914062 × 2 - 1) × π
    0.337371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05988485059944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05988485059944))-π/2
    2×atan(2.88603864451377)-π/2
    2×1.23724677683894-π/2
    2.47449355367788-1.57079632675     		φ = 0.90369723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90369723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.778037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53688 KachelY 21713 2.00567988 0.90369723 114.916992 51.778037
    Oben rechts KachelX + 1 53689 KachelY 21713 2.00577575 0.90369723 114.922485 51.778037
    Unten links KachelX 53688 KachelY + 1 21714 2.00567988 0.90363791 114.916992 51.774638
    Unten rechts KachelX + 1 53689 KachelY + 1 21714 2.00577575 0.90363791 114.922485 51.774638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90369723-0.90363791) × R
    5.93199999999738e-05 × 6371000     		dl = 377.927719999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90369723-0.90363791) × R
    5.93199999999738e-05 × 6371000     		dr = 377.927719999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.90369723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618709586571816 × 6371000     		do = 377.900248659813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.90363791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618756188448891 × 6371000     		du = 377.92871251639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90369723)-sin(0.90363791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618709586571816-0.618756188448891)×R²
    abs(2.00577575-2.00567988)×4.66018770758359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66018770758359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66018770758359e-05×40589641000000     		ar = 142824.358045639m²