Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53688 / 21048
↖ ↑ ↗
← N 53.981935°
E114.916992°		 ← 359.17 m → N 53.981935°
E114.922485°		 →
↑
359.20 m
↓
↑
359.20 m
↓
N 53.978705°
E114.916992°		 ← 359.20 m →
129 017 m²		 N 53.978705°
E114.922485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819221496582031 y=0.321174621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819221496582031 × 216)
    floor (0.819221496582031 × 65536)
    floor (53688.5)     		tx = 53688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321174621582031 × 216)
    floor (0.321174621582031 × 65536)
    floor (21048.5)     		ty = 21048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53688 / 21048 ti = "16/53688/21048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53688/21048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53688 ÷ 216
    53688 ÷ 65536     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21048 ÷ 216
    21048 ÷ 65536     		y = 0.3211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3211669921875 × 2 - 1) × π
    0.357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12364092709412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12364092709412))-π/2
    2×atan(3.07603345306832)-π/2
    2×1.2564794159763-π/2
    2.51295883195261-1.57079632675     		φ = 0.94216251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94216251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.981935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53688 KachelY 21048 2.00567988 0.94216251 114.916992 53.981935
    Oben rechts KachelX + 1 53689 KachelY 21048 2.00577575 0.94216251 114.922485 53.981935
    Unten links KachelX 53688 KachelY + 1 21049 2.00567988 0.94210613 114.916992 53.978705
    Unten rechts KachelX + 1 53689 KachelY + 1 21049 2.00577575 0.94210613 114.922485 53.978705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94216251-0.94210613) × R
    5.6379999999967e-05 × 6371000     		dl = 359.19697999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94216251-0.94210613) × R
    5.6379999999967e-05 × 6371000     		dr = 359.19697999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.94216251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588040294868092 × 6371000     		do = 359.167820372617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.94210613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588085895860971 × 6371000     		du = 359.195672901367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94216251)-sin(0.94210613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588040294868092-0.588085895860971)×R²
    abs(2.00577575-2.00567988)×4.56009928785361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56009928785361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56009928785361e-05×40589641000000     		ar = 129016.998697051m²