Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53688 / 20984
↖ ↑ ↗
← N 54.188156°
E114.916992°		 ← 357.39 m → N 54.188156°
E114.922485°		 →
↑
357.41 m
↓
↑
357.41 m
↓
N 54.184941°
E114.916992°		 ← 357.42 m →
127 740 m²		 N 54.184941°
E114.922485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819221496582031 y=0.320198059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819221496582031 × 216)
    floor (0.819221496582031 × 65536)
    floor (53688.5)     		tx = 53688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320198059082031 × 216)
    floor (0.320198059082031 × 65536)
    floor (20984.5)     		ty = 20984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53688 / 20984 ti = "16/53688/20984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53688/20984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53688 ÷ 216
    53688 ÷ 65536     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20984 ÷ 216
    20984 ÷ 65536     		y = 0.3201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3201904296875 × 2 - 1) × π
    0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12977685024548))-π/2
    2×atan(3.09496578220627)-π/2
    2×1.25827902775166-π/2
    2.51655805550331-1.57079632675     		φ = 0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53688 KachelY 20984 2.00567988 0.94576173 114.916992 54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 53689 KachelY 20984 2.00577575 0.94576173 114.922485 54.188156
    Unten links KachelX 53688 KachelY + 1 20985 2.00567988 0.94570563 114.916992 54.184941
    Unten rechts KachelX + 1 53689 KachelY + 1 20985 2.00577575 0.94570563 114.922485 54.184941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94576173-0.94570563) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dl = 357.413100000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94576173-0.94570563) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dr = 357.413100000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.94576173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 357.387395062822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.94570563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		du = 357.415181615324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94576173)-sin(0.94570563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585170822289601)×R²
    abs(2.00577575-2.00567988)×4.54929745933308e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54929745933308e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54929745933308e-05×40589641000000     		ar = 127739.902442576m²