Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53688 / 20973
↖ ↑ ↗
← N 54.223496°
E114.916992°		 ← 357.08 m → N 54.223496°
E114.922485°		 →
↑
357.09 m
↓
↑
357.09 m
↓
N 54.220285°
E114.916992°		 ← 357.11 m →
127 517 m²		 N 54.220285°
E114.922485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819221496582031 y=0.320030212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819221496582031 × 216)
    floor (0.819221496582031 × 65536)
    floor (53688.5)     		tx = 53688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320030212402344 × 216)
    floor (0.320030212402344 × 65536)
    floor (20973.5)     		ty = 20973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53688 / 20973 ti = "16/53688/20973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53688/20973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53688 ÷ 216
    53688 ÷ 65536     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20973 ÷ 216
    20973 ÷ 65536     		y = 0.320022583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320022583007812 × 2 - 1) × π
    0.359954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13083146203712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13083146203712))-π/2
    2×atan(3.09823149133992)-π/2
    2×1.25858743586986-π/2
    2.51717487173972-1.57079632675     		φ = 0.94637854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94637854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.223496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53688 KachelY 20973 2.00567988 0.94637854 114.916992 54.223496
    Oben rechts KachelX + 1 53689 KachelY 20973 2.00577575 0.94637854 114.922485 54.223496
    Unten links KachelX 53688 KachelY + 1 20974 2.00567988 0.94632249 114.916992 54.220285
    Unten rechts KachelX + 1 53689 KachelY + 1 20974 2.00577575 0.94632249 114.922485 54.220285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94637854-0.94632249) × R
    5.60499999999742e-05 × 6371000     		dl = 357.094549999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94637854-0.94632249) × R
    5.60499999999742e-05 × 6371000     		dr = 357.094549999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.94637854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584625020364252 × 6371000     		do = 357.081812474478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00577575) × cos(0.94632249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58467049301455 × 6371000     		du = 357.10958661315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94637854)-sin(0.94632249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584625020364252-0.58467049301455)×R²
    abs(2.00577575-2.00567988)×4.54726502984171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54726502984171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54726502984171e-05×40589641000000     		ar = 127516.928168848m²