Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53686 / 21709
↖ ↑ ↗
← N 51.791630°
E114.906006°		 ← 377.83 m → N 51.791630°
E114.911499°		 →
↑
377.80 m
↓
↑
377.80 m
↓
N 51.788232°
E114.906006°		 ← 377.85 m →
142 748 m²		 N 51.788232°
E114.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819190979003906 y=0.331260681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819190979003906 × 216)
    floor (0.819190979003906 × 65536)
    floor (53686.5)     		tx = 53686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331260681152344 × 216)
    floor (0.331260681152344 × 65536)
    floor (21709.5)     		ty = 21709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53686 / 21709 ti = "16/53686/21709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53686/21709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53686 ÷ 216
    53686 ÷ 65536     		x = 0.819183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21709 ÷ 216
    21709 ÷ 65536     		y = 0.331253051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819183349609375 × 2 - 1) × π
    0.63836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00548813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331253051757812 × 2 - 1) × π
    0.337493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0602683457964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00548813} λ = 2.00548813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0602683457964))-π/2
    2×atan(2.8871456387221)-π/2
    2×1.23736539504605-π/2
    2.4747307900921-1.57079632675     		φ = 0.90393446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00548813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90393446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.791630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53686 KachelY 21709 2.00548813 0.90393446 114.906006 51.791630
    Oben rechts KachelX + 1 53687 KachelY 21709 2.00558401 0.90393446 114.911499 51.791630
    Unten links KachelX 53686 KachelY + 1 21710 2.00548813 0.90387516 114.906006 51.788232
    Unten rechts KachelX + 1 53687 KachelY + 1 21710 2.00558401 0.90387516 114.911499 51.788232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90393446-0.90387516) × R
    5.92999999999844e-05 × 6371000     		dl = 377.8002999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90393446-0.90387516) × R
    5.92999999999844e-05 × 6371000     		dr = 377.8002999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00548813-2.00558401) × cos(0.90393446) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.618523196581941 × 6371000     		do = 377.825810047912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00548813-2.00558401) × cos(0.90387516) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.618569791450217 × 6371000     		du = 377.854272592158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90393446)-sin(0.90387516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618523196581941-0.618569791450217)×R²
    abs(2.00558401-2.00548813)×4.6594868275851e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.6594868275851e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.6594868275851e-05×40589641000000     		ar = 142748.081004412m²