Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53685 / 50205
↖ ↑ ↗
← S 68.714459°
E114.900513°		 ← 221.73 m → S 68.714459°
E114.906006°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
S 68.716453°
E114.900513°		 ← 221.71 m →
49 171 m²		 S 68.716453°
E114.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819175720214844 y=0.766075134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819175720214844 × 216)
    floor (0.819175720214844 × 65536)
    floor (53685.5)     		tx = 53685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766075134277344 × 216)
    floor (0.766075134277344 × 65536)
    floor (50205.5)     		ty = 50205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53685 / 50205 ti = "16/53685/50205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53685/50205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53685 ÷ 216
    53685 ÷ 65536     		x = 0.819168090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50205 ÷ 216
    50205 ÷ 65536     		y = 0.766067504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819168090820312 × 2 - 1) × π
    0.638336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00539226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766067504882812 × 2 - 1) × π
    -0.532135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67175143734984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00539226} λ = 2.00539226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67175143734984))-π/2
    2×atan(0.187917651255524)-π/2
    2×0.185751386327092-π/2
    0.371502772654185-1.57079632675     		φ = -1.19929355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00539226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.900513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19929355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.714459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53685 KachelY 50205 2.00539226 -1.19929355 114.900513 -68.714459
    Oben rechts KachelX + 1 53686 KachelY 50205 2.00548813 -1.19929355 114.906006 -68.714459
    Unten links KachelX 53685 KachelY + 1 50206 2.00539226 -1.19932836 114.900513 -68.716453
    Unten rechts KachelX + 1 53686 KachelY + 1 50206 2.00548813 -1.19932836 114.906006 -68.716453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19929355--1.19932836) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19929355--1.19932836) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00539226-2.00548813) × cos(-1.19929355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		do = 221.72579603337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00539226-2.00548813) × cos(-1.19932836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362983667431467 × 6371000     		du = 221.705984776883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19929355)-sin(-1.19932836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363016103012958-0.362983667431467)×R²
    abs(2.00548813-2.00539226)×3.24355814910193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24355814910193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24355814910193e-05×40589641000000     		ar = 49170.9329588273m²