Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53682 / 50202
↖ ↑ ↗
← S 68.708476°
E114.884033°		 ← 221.79 m → S 68.708476°
E114.889526°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
S 68.710470°
E114.884033°		 ← 221.77 m →
49 184 m²		 S 68.710470°
E114.889526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819129943847656 y=0.766029357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819129943847656 × 216)
    floor (0.819129943847656 × 65536)
    floor (53682.5)     		tx = 53682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766029357910156 × 216)
    floor (0.766029357910156 × 65536)
    floor (50202.5)     		ty = 50202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53682 / 50202 ti = "16/53682/50202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53682/50202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53682 ÷ 216
    53682 ÷ 65536     		x = 0.819122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50202 ÷ 216
    50202 ÷ 65536     		y = 0.766021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819122314453125 × 2 - 1) × π
    0.63824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00510464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.53204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67146381595212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00510464} λ = 2.00510464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67146381595212))-π/2
    2×atan(0.187971708166624)-π/2
    2×0.185803598922108-π/2
    0.371607197844215-1.57079632675     		φ = -1.19918913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00510464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.884033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19918913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.708476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53682 KachelY 50202 2.00510464 -1.19918913 114.884033 -68.708476
    Oben rechts KachelX + 1 53683 KachelY 50202 2.00520051 -1.19918913 114.889526 -68.708476
    Unten links KachelX 53682 KachelY + 1 50203 2.00510464 -1.19922394 114.884033 -68.710470
    Unten rechts KachelX + 1 53683 KachelY + 1 50203 2.00520051 -1.19922394 114.889526 -68.710470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19918913--1.19922394) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19918913--1.19922394) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00510464-2.00520051) × cos(-1.19918913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363113397800546 × 6371000     		do = 221.785222499714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00510464-2.00520051) × cos(-1.19922394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363080963538686 × 6371000     		du = 221.76541204924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19918913)-sin(-1.19922394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363113397800546-0.363080963538686)×R²
    abs(2.00520051-2.00510464)×3.24342618603368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24342618603368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24342618603368e-05×40589641000000     		ar = 49184.1123238548m²