Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53681 / 10897
↖ ↑ ↗
← N 81.665659°
W 32.560730°		 ← 44.26 m → N 81.665659°
W 32.557984°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
N 81.665261°
W 32.560730°		 ← 44.26 m →
1 960 m²		 N 81.665261°
W 32.557984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409557342529297 y=0.0831413269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409557342529297 × 217)
    floor (0.409557342529297 × 131072)
    floor (53681.5)     		tx = 53681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0831413269042969 × 217)
    floor (0.0831413269042969 × 131072)
    floor (10897.5)     		ty = 10897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53681 / 10897 ti = "17/53681/10897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53681/10897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53681 ÷ 217
    53681 ÷ 131072     		x = 0.409553527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10897 ÷ 217
    10897 ÷ 131072     		y = 0.0831375122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409553527832031 × 2 - 1) × π
    -0.180892944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56829194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0831375122070312 × 2 - 1) × π
    0.833724975585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.61922425834025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56829194} λ = -0.56829194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61922425834025))-π/2
    2×atan(13.725072343906)-π/2
    2×1.49806548106835-π/2
    2.9961309621367-1.57079632675     		φ = 1.42533464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56829194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.560730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42533464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.665659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53681 KachelY 10897 -0.56829194 1.42533464 -32.560730 81.665659
    Oben rechts KachelX + 1 53682 KachelY 10897 -0.56824401 1.42533464 -32.557984 81.665659
    Unten links KachelX 53681 KachelY + 1 10898 -0.56829194 1.42532769 -32.560730 81.665261
    Unten rechts KachelX + 1 53682 KachelY + 1 10898 -0.56824401 1.42532769 -32.557984 81.665261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42533464-1.42532769) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dl = 44.2784499996818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42533464-1.42532769) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dr = 44.2784499996818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56829194--0.56824401) × cos(1.42533464) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144949256104891 × 6371000     		do = 44.2619990912064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56829194--0.56824401) × cos(1.42532769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144956132703066 × 6371000     		du = 44.2640989431848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42533464)-sin(1.42532769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144949256104891-0.144956132703066)×R²
    abs(-0.56824401--0.56829194)×6.87659817585895e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.87659817585895e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.87659817585895e-06×40589641000000     		ar = 1959.89920275391m²