Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53680 / 50224
↖ ↑ ↗
← S 68.752315°
E114.873047°		 ← 221.35 m → S 68.752315°
E114.878540°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
S 68.754306°
E114.873047°		 ← 221.33 m →
49 003 m²		 S 68.754306°
E114.878540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819099426269531 y=0.766365051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819099426269531 × 216)
    floor (0.819099426269531 × 65536)
    floor (53680.5)     		tx = 53680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766365051269531 × 216)
    floor (0.766365051269531 × 65536)
    floor (50224.5)     		ty = 50224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53680 / 50224 ti = "16/53680/50224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53680/50224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53680 ÷ 216
    53680 ÷ 65536     		x = 0.819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50224 ÷ 216
    50224 ÷ 65536     		y = 0.766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819091796875 × 2 - 1) × π
    0.63818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00491289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.53271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6735730395354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00491289} λ = 2.00491289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6735730395354))-π/2
    2×atan(0.187575651639485)-π/2
    2×0.185421031332657-π/2
    0.370842062665314-1.57079632675     		φ = -1.19995426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00491289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19995426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.752315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53680 KachelY 50224 2.00491289 -1.19995426 114.873047 -68.752315
    Oben rechts KachelX + 1 53681 KachelY 50224 2.00500876 -1.19995426 114.878540 -68.752315
    Unten links KachelX 53680 KachelY + 1 50225 2.00491289 -1.19998901 114.873047 -68.754306
    Unten rechts KachelX + 1 53681 KachelY + 1 50225 2.00500876 -1.19998901 114.878540 -68.754306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19995426--1.19998901) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dl = 221.392249999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19995426--1.19998901) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dr = 221.392249999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00491289-2.00500876) × cos(-1.19995426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362400385565398 × 6371000     		do = 221.349723346625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00491289-2.00500876) × cos(-1.19998901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362367997564345 × 6371000     		du = 221.329941151687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19995426)-sin(-1.19998901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362400385565398-0.362367997564345)×R²
    abs(2.00500876-2.00491289)×3.23880010524857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23880010524857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23880010524857e-05×40589641000000     		ar = 49002.9234811417m²