Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53673 / 50207
↖ ↑ ↗
← S 68.718447°
E114.834595°		 ← 221.71 m → S 68.718447°
E114.840088°		 →
↑
221.65 m
↓
↑
221.65 m
↓
S 68.720440°
E114.834595°		 ← 221.69 m →
49 139 m²		 S 68.720440°
E114.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818992614746094 y=0.766105651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818992614746094 × 216)
    floor (0.818992614746094 × 65536)
    floor (53673.5)     		tx = 53673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766105651855469 × 216)
    floor (0.766105651855469 × 65536)
    floor (50207.5)     		ty = 50207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53673 / 50207 ti = "16/53673/50207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53673/50207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53673 ÷ 216
    53673 ÷ 65536     		x = 0.818984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50207 ÷ 216
    50207 ÷ 65536     		y = 0.766098022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818984985351562 × 2 - 1) × π
    0.637969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00424177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766098022460938 × 2 - 1) × π
    -0.532196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67194318494832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00424177} λ = 2.00424177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67194318494832))-π/2
    2×atan(0.187881621951561)-π/2
    2×0.185716585703465-π/2
    0.371433171406931-1.57079632675     		φ = -1.19936316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00424177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.834595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19936316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.718447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53673 KachelY 50207 2.00424177 -1.19936316 114.834595 -68.718447
    Oben rechts KachelX + 1 53674 KachelY 50207 2.00433765 -1.19936316 114.840088 -68.718447
    Unten links KachelX 53673 KachelY + 1 50208 2.00424177 -1.19939795 114.834595 -68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 53674 KachelY + 1 50208 2.00433765 -1.19939795 114.840088 -68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19936316--1.19939795) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dl = 221.647089999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19936316--1.19939795) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dr = 221.647089999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00424177-2.00433765) × cos(-1.19936316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362951240728217 × 6371000     		do = 221.709302566522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00424177-2.00433765) × cos(-1.19939795) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 221.689500090393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19936316)-sin(-1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362951240728217-0.362918822903626)×R²
    abs(2.00433765-2.00424177)×3.24178245908469e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24178245908469e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24178245908469e-05×40589641000000     		ar = 49139.0271643309m²