Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53672 / 20952
↖ ↑ ↗
← N 54.290882°
E114.829102°		 ← 356.50 m → N 54.290882°
E114.834595°		 →
↑
356.52 m
↓
↑
356.52 m
↓
N 54.287675°
E114.829102°		 ← 356.53 m →
127 104 m²		 N 54.287675°
E114.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818977355957031 y=0.319709777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818977355957031 × 216)
    floor (0.818977355957031 × 65536)
    floor (53672.5)     		tx = 53672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319709777832031 × 216)
    floor (0.319709777832031 × 65536)
    floor (20952.5)     		ty = 20952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53672 / 20952 ti = "16/53672/20952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53672/20952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53672 ÷ 216
    53672 ÷ 65536     		x = 0.8189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20952 ÷ 216
    20952 ÷ 65536     		y = 0.3197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8189697265625 × 2 - 1) × π
    0.637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00414590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3197021484375 × 2 - 1) × π
    0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00414590} λ = 2.00414590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13284481182117))-π/2
    2×atan(3.1044755987208)-π/2
    2×1.2591754826596-π/2
    2.51835096531921-1.57079632675     		φ = 0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00414590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.829102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53672 KachelY 20952 2.00414590 0.94755464 114.829102 54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 53673 KachelY 20952 2.00424177 0.94755464 114.834595 54.290882
    Unten links KachelX 53672 KachelY + 1 20953 2.00414590 0.94749868 114.829102 54.287675
    Unten rechts KachelX + 1 53673 KachelY + 1 20953 2.00424177 0.94749868 114.834595 54.287675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94755464-0.94749868) × R
    5.5959999999966e-05 × 6371000     		dl = 356.521159999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94755464-0.94749868) × R
    5.5959999999966e-05 × 6371000     		dr = 356.521159999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00414590-2.00424177) × cos(0.94755464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 356.498767715291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00414590-2.00424177) × cos(0.94749868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58371588013393 × 6371000     		du = 356.526520740583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94755464)-sin(0.94749868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.58371588013393)×R²
    abs(2.00424177-2.00414590)×4.54380828409651e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54380828409651e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54380828409651e-05×40589641000000     		ar = 127104.301507728m²