Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53669 / 50243
↖ ↑ ↗
← S 68.790106°
E114.812622°		 ← 220.97 m → S 68.790106°
E114.818115°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
S 68.792094°
E114.812622°		 ← 220.95 m →
48 835 m²		 S 68.792094°
E114.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818931579589844 y=0.766654968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818931579589844 × 216)
    floor (0.818931579589844 × 65536)
    floor (53669.5)     		tx = 53669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766654968261719 × 216)
    floor (0.766654968261719 × 65536)
    floor (50243.5)     		ty = 50243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53669 / 50243 ti = "16/53669/50243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53669/50243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53669 ÷ 216
    53669 ÷ 65536     		x = 0.818923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50243 ÷ 216
    50243 ÷ 65536     		y = 0.766647338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818923950195312 × 2 - 1) × π
    0.637847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00385828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766647338867188 × 2 - 1) × π
    -0.533294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67539464172096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00385828} λ = 2.00385828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67539464172096))-π/2
    2×atan(0.187234274443621)-π/2
    2×0.185091236730518-π/2
    0.370182473461035-1.57079632675     		φ = -1.20061385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00385828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.812622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20061385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.790106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53669 KachelY 50243 2.00385828 -1.20061385 114.812622 -68.790106
    Oben rechts KachelX + 1 53670 KachelY 50243 2.00395415 -1.20061385 114.818115 -68.790106
    Unten links KachelX 53669 KachelY + 1 50244 2.00385828 -1.20064854 114.812622 -68.792094
    Unten rechts KachelX + 1 53670 KachelY + 1 50244 2.00395415 -1.20064854 114.818115 -68.792094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20061385--1.20064854) × R
    3.46899999998929e-05 × 6371000     		dl = 221.009989999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20061385--1.20064854) × R
    3.46899999998929e-05 × 6371000     		dr = 221.009989999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00385828-2.00395415) × cos(-1.20061385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361785554049343 × 6371000     		do = 220.974191776008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00385828-2.00395415) × cos(-1.20064854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361753213685652 × 6371000     		du = 220.954438677388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20061385)-sin(-1.20064854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361785554049343-0.361753213685652)×R²
    abs(2.00395415-2.00385828)×3.23403636905972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23403636905972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23403636905972e-05×40589641000000     		ar = 48835.3211034028m²