Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53667 / 50201
↖ ↑ ↗
← S 68.706481°
E114.801636°		 ← 221.81 m → S 68.706481°
E114.807129°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 68.708476°
E114.801636°		 ← 221.79 m →
49 203 m²		 S 68.708476°
E114.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818901062011719 y=0.766014099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818901062011719 × 216)
    floor (0.818901062011719 × 65536)
    floor (53667.5)     		tx = 53667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766014099121094 × 216)
    floor (0.766014099121094 × 65536)
    floor (50201.5)     		ty = 50201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53667 / 50201 ti = "16/53667/50201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53667/50201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53667 ÷ 216
    53667 ÷ 65536     		x = 0.818893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50201 ÷ 216
    50201 ÷ 65536     		y = 0.766006469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818893432617188 × 2 - 1) × π
    0.637786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00366653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766006469726562 × 2 - 1) × π
    -0.532012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67136794215288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00366653} λ = 2.00366653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67136794215288))-π/2
    2×atan(0.187989730592361)-π/2
    2×0.185821006230137-π/2
    0.371642012460274-1.57079632675     		φ = -1.19915431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00366653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19915431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.706481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53667 KachelY 50201 2.00366653 -1.19915431 114.801636 -68.706481
    Oben rechts KachelX + 1 53668 KachelY 50201 2.00376240 -1.19915431 114.807129 -68.706481
    Unten links KachelX 53667 KachelY + 1 50202 2.00366653 -1.19918913 114.801636 -68.708476
    Unten rechts KachelX + 1 53668 KachelY + 1 50202 2.00376240 -1.19918913 114.807129 -68.708476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19915431--1.19918913) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dl = 221.838219999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19915431--1.19918913) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dr = 221.838219999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00366653-2.00376240) × cos(-1.19915431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363145840939732 × 6371000     		do = 221.805038372349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00366653-2.00376240) × cos(-1.19918913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363113397800546 × 6371000     		du = 221.785222499714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19915431)-sin(-1.19918913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363145840939732-0.363113397800546)×R²
    abs(2.00376240-2.00366653)×3.24431391858226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24431391858226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24431391858226e-05×40589641000000     		ar = 49202.6369452954m²