Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53654 / 15230
↖ ↑ ↗
← N 79.750909°
W 32.634888°		 ← 54.34 m → N 79.750909°
W 32.632141°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.750421°
W 32.634888°		 ← 54.35 m →
2 953 m²		 N 79.750421°
W 32.632141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409351348876953 y=0.116199493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409351348876953 × 217)
    floor (0.409351348876953 × 131072)
    floor (53654.5)     		tx = 53654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116199493408203 × 217)
    floor (0.116199493408203 × 131072)
    floor (15230.5)     		ty = 15230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53654 / 15230 ti = "17/53654/15230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53654/15230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53654 ÷ 217
    53654 ÷ 131072     		x = 0.409347534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15230 ÷ 217
    15230 ÷ 131072     		y = 0.116195678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409347534179688 × 2 - 1) × π
    -0.181304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56958624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116195678710938 × 2 - 1) × π
    0.767608642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41151367228654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56958624} λ = -0.56958624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41151367228654))-π/2
    2×atan(11.1508270750152)-π/2
    2×1.48135613958286-π/2
    2.96271227916573-1.57079632675     		φ = 1.39191595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56958624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.634888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39191595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.750909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53654 KachelY 15230 -0.56958624 1.39191595 -32.634888 79.750909
    Oben rechts KachelX + 1 53655 KachelY 15230 -0.56953830 1.39191595 -32.632141 79.750909
    Unten links KachelX 53654 KachelY + 1 15231 -0.56958624 1.39190742 -32.634888 79.750421
    Unten rechts KachelX + 1 53655 KachelY + 1 15231 -0.56953830 1.39190742 -32.632141 79.750421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39191595-1.39190742) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39191595-1.39190742) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56958624--0.56953830) × cos(1.39191595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177927927215526 × 6371000     		do = 54.3437688364325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56958624--0.56953830) × cos(1.39190742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177936321100294 × 6371000     		du = 54.3463325448991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39191595)-sin(1.39190742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177927927215526-0.177936321100294)×R²
    abs(-0.56953830--0.56958624)×8.39388476753244e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39388476753244e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39388476753244e-06×40589641000000     		ar = 2953.36167215546m²