Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53652 / 50132
↖ ↑ ↗
← S 68.568414°
E114.719238°		 ← 223.20 m → S 68.568414°
E114.724732°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 68.570421°
E114.719238°		 ← 223.18 m →
49 810 m²		 S 68.570421°
E114.724732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818672180175781 y=0.764961242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818672180175781 × 216)
    floor (0.818672180175781 × 65536)
    floor (53652.5)     		tx = 53652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764961242675781 × 216)
    floor (0.764961242675781 × 65536)
    floor (50132.5)     		ty = 50132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53652 / 50132 ti = "16/53652/50132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53652/50132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53652 ÷ 216
    53652 ÷ 65536     		x = 0.81866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50132 ÷ 216
    50132 ÷ 65536     		y = 0.76495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81866455078125 × 2 - 1) × π
    0.6373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00222842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.5299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66475265000531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00222842} λ = 2.00222842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66475265000531))-π/2
    2×atan(0.18923746007824)-π/2
    2×0.187025872362092-π/2
    0.374051744724185-1.57079632675     		φ = -1.19674458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00222842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19674458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.568414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53652 KachelY 50132 2.00222842 -1.19674458 114.719238 -68.568414
    Oben rechts KachelX + 1 53653 KachelY 50132 2.00232430 -1.19674458 114.724732 -68.568414
    Unten links KachelX 53652 KachelY + 1 50133 2.00222842 -1.19677961 114.719238 -68.570421
    Unten rechts KachelX + 1 53653 KachelY + 1 50133 2.00232430 -1.19677961 114.724732 -68.570421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19674458--1.19677961) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19674458--1.19677961) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00222842-2.00232430) × cos(-1.19674458) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.365390007710217 × 6371000     		do = 223.199026987885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00222842-2.00232430) × cos(-1.19677961) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.365357399652112 × 6371000     		du = 223.179108307331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19674458)-sin(-1.19677961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365390007710217-0.365357399652112)×R²
    abs(2.00232430-2.00222842)×3.2608058105621e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.2608058105621e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.2608058105621e-05×40589641000000     		ar = 49810.4723810828m²