Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53649 / 21714
↖ ↑ ↗
← N 51.774638°
E114.702759°		 ← 377.97 m → N 51.774638°
E114.708252°		 →
↑
377.99 m
↓
↑
377.99 m
↓
N 51.771239°
E114.702759°		 ← 378 m →
142 874 m²		 N 51.771239°
E114.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818626403808594 y=0.331336975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818626403808594 × 216)
    floor (0.818626403808594 × 65536)
    floor (53649.5)     		tx = 53649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331336975097656 × 216)
    floor (0.331336975097656 × 65536)
    floor (21714.5)     		ty = 21714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53649 / 21714 ti = "16/53649/21714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53649/21714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53649 ÷ 216
    53649 ÷ 65536     		x = 0.818618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21714 ÷ 216
    21714 ÷ 65536     		y = 0.331329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818618774414062 × 2 - 1) × π
    0.637237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00194080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331329345703125 × 2 - 1) × π
    0.33734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0597889768002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00194080} λ = 2.00194080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0597889768002))-π/2
    2×atan(2.88576196228767)-π/2
    2×1.2372171167025-π/2
    2.474434233405-1.57079632675     		φ = 0.90363791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00194080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90363791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.774638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53649 KachelY 21714 2.00194080 0.90363791 114.702759 51.774638
    Oben rechts KachelX + 1 53650 KachelY 21714 2.00203668 0.90363791 114.708252 51.774638
    Unten links KachelX 53649 KachelY + 1 21715 2.00194080 0.90357858 114.702759 51.771239
    Unten rechts KachelX + 1 53650 KachelY + 1 21715 2.00203668 0.90357858 114.708252 51.771239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90363791-0.90357858) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dl = 377.991430000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90363791-0.90357858) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dr = 377.991430000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00194080-2.00203668) × cos(0.90363791) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.618756188448891 × 6371000     		do = 377.968133472916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00194080-2.00203668) × cos(0.90357858) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.618802796004113 × 6371000     		du = 377.996603767003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90363791)-sin(0.90357858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618756188448891-0.618802796004113)×R²
    abs(2.00203668-2.00194080)×4.66075552217893e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66075552217893e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66075552217893e-05×40589641000000     		ar = 142874.096071154m²