Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53649 / 15235
↖ ↑ ↗
← N 79.748466°
W 32.648621°		 ← 54.36 m → N 79.748466°
W 32.645874°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.747977°
W 32.648621°		 ← 54.36 m →
2 954 m²		 N 79.747977°
W 32.645874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409313201904297 y=0.116237640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409313201904297 × 217)
    floor (0.409313201904297 × 131072)
    floor (53649.5)     		tx = 53649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116237640380859 × 217)
    floor (0.116237640380859 × 131072)
    floor (15235.5)     		ty = 15235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53649 / 15235 ti = "17/53649/15235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53649/15235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53649 ÷ 217
    53649 ÷ 131072     		x = 0.409309387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15235 ÷ 217
    15235 ÷ 131072     		y = 0.116233825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409309387207031 × 2 - 1) × π
    -0.181381225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56982593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116233825683594 × 2 - 1) × π
    0.767532348632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.41127398778844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56982593} λ = -0.56982593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41127398778844))-π/2
    2×atan(11.1481547148987)-π/2
    2×1.48133481378533-π/2
    2.96266962757066-1.57079632675     		φ = 1.39187330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56982593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.648621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39187330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.748466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53649 KachelY 15235 -0.56982593 1.39187330 -32.648621 79.748466
    Oben rechts KachelX + 1 53650 KachelY 15235 -0.56977799 1.39187330 -32.645874 79.748466
    Unten links KachelX 53649 KachelY + 1 15236 -0.56982593 1.39186477 -32.648621 79.747977
    Unten rechts KachelX + 1 53650 KachelY + 1 15236 -0.56977799 1.39186477 -32.645874 79.747977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39187330-1.39186477) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39187330-1.39186477) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56982593--0.56977799) × cos(1.39187330) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177969896509889 × 6371000     		do = 54.3565873393464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56982593--0.56977799) × cos(1.39186477) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177978290329916 × 6371000     		du = 54.3591510280397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39187330)-sin(1.39186477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177969896509889-0.177978290329916)×R²
    abs(-0.56977799--0.56982593)×8.39382002737477e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.39382002737477e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.39382002737477e-06×40589641000000     		ar = 2954.05828829508m²