Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53648 / 50188
↖ ↑ ↗
← S 68.680533°
E114.697266°		 ← 222.06 m → S 68.680533°
E114.702759°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
S 68.682531°
E114.697266°		 ← 222.04 m →
49 316 m²		 S 68.682531°
E114.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818611145019531 y=0.765815734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818611145019531 × 216)
    floor (0.818611145019531 × 65536)
    floor (53648.5)     		tx = 53648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765815734863281 × 216)
    floor (0.765815734863281 × 65536)
    floor (50188.5)     		ty = 50188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53648 / 50188 ti = "16/53648/50188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53648/50188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53648 ÷ 216
    53648 ÷ 65536     		x = 0.818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50188 ÷ 216
    50188 ÷ 65536     		y = 0.76580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818603515625 × 2 - 1) × π
    0.63720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00184493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.5316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67012158276276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00184493} λ = 2.00184493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67012158276276))-π/2
    2×atan(0.188224179431738)-π/2
    2×0.186047442786225-π/2
    0.372094885572449-1.57079632675     		φ = -1.19870144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00184493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19870144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.680533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53648 KachelY 50188 2.00184493 -1.19870144 114.697266 -68.680533
    Oben rechts KachelX + 1 53649 KachelY 50188 2.00194080 -1.19870144 114.702759 -68.680533
    Unten links KachelX 53648 KachelY + 1 50189 2.00184493 -1.19873630 114.697266 -68.682531
    Unten rechts KachelX + 1 53649 KachelY + 1 50189 2.00194080 -1.19873630 114.702759 -68.682531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19870144--1.19873630) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19870144--1.19873630) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00184493-2.00194080) × cos(-1.19870144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363567757297697 × 6371000     		do = 222.062739723757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00184493-2.00194080) × cos(-1.19873630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363535282624788 × 6371000     		du = 222.042904590709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19870144)-sin(-1.19873630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363567757297697-0.363535282624788)×R²
    abs(2.00194080-2.00184493)×3.24746729091774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24746729091774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24746729091774e-05×40589641000000     		ar = 49316.390759388m²