Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53644 / 21804
↖ ↑ ↗
← N 51.467697°
E114.675293°		 ← 380.53 m → N 51.467697°
E114.680786°		 →
↑
380.54 m
↓
↑
380.54 m
↓
N 51.464275°
E114.675293°		 ← 380.56 m →
144 814 m²		 N 51.464275°
E114.680786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818550109863281 y=0.332710266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818550109863281 × 216)
    floor (0.818550109863281 × 65536)
    floor (53644.5)     		tx = 53644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332710266113281 × 216)
    floor (0.332710266113281 × 65536)
    floor (21804.5)     		ty = 21804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53644 / 21804 ti = "16/53644/21804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53644/21804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53644 ÷ 216
    53644 ÷ 65536     		x = 0.81854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21804 ÷ 216
    21804 ÷ 65536     		y = 0.33270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81854248046875 × 2 - 1) × π
    0.6370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00146143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33270263671875 × 2 - 1) × π
    0.3345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05116033486859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00146143} λ = 2.00146143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05116033486859))-π/2
    2×atan(2.86096887477988)-π/2
    2×1.23453854854047-π/2
    2.46907709708094-1.57079632675     		φ = 0.89828077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00146143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89828077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.467697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53644 KachelY 21804 2.00146143 0.89828077 114.675293 51.467697
    Oben rechts KachelX + 1 53645 KachelY 21804 2.00155731 0.89828077 114.680786 51.467697
    Unten links KachelX 53644 KachelY + 1 21805 2.00146143 0.89822104 114.675293 51.464275
    Unten rechts KachelX + 1 53645 KachelY + 1 21805 2.00155731 0.89822104 114.680786 51.464275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89828077-0.89822104) × R
    5.97299999999246e-05 × 6371000     		dl = 380.539829999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89828077-0.89822104) × R
    5.97299999999246e-05 × 6371000     		dr = 380.539829999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00146143-2.00155731) × cos(0.89828077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.622955768067913 × 6371000     		do = 380.533452898572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00146143-2.00155731) × cos(0.89822104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.623002491170946 × 6371000     		du = 380.56199377521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89828077)-sin(0.89822104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622955768067913-0.623002491170946)×R²
    abs(2.00155731-2.00146143)×4.67231030334414e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.67231030334414e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.67231030334414e-05×40589641000000     		ar = 144813.565988459m²