Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53642 / 22918
↖ ↑ ↗
← N 47.494937°
E114.664307°		 ← 412.68 m → N 47.494937°
E114.669800°		 →
↑
412.71 m
↓
↑
412.71 m
↓
N 47.491225°
E114.664307°		 ← 412.71 m →
170 325 m²		 N 47.491225°
E114.669800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818519592285156 y=0.349708557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818519592285156 × 216)
    floor (0.818519592285156 × 65536)
    floor (53642.5)     		tx = 53642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349708557128906 × 216)
    floor (0.349708557128906 × 65536)
    floor (22918.5)     		ty = 22918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53642 / 22918 ti = "16/53642/22918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53642/22918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53642 ÷ 216
    53642 ÷ 65536     		x = 0.818511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22918 ÷ 216
    22918 ÷ 65536     		y = 0.349700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818511962890625 × 2 - 1) × π
    0.63702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00126969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349700927734375 × 2 - 1) × π
    0.30059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944356922515106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00126969} λ = 2.00126969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944356922515106))-π/2
    2×atan(2.57115939210945)-π/2
    2×1.1998696734083-π/2
    2.3997393468166-1.57079632675     		φ = 0.82894302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00126969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82894302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.494937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53642 KachelY 22918 2.00126969 0.82894302 114.664307 47.494937
    Oben rechts KachelX + 1 53643 KachelY 22918 2.00136556 0.82894302 114.669800 47.494937
    Unten links KachelX 53642 KachelY + 1 22919 2.00126969 0.82887824 114.664307 47.491225
    Unten rechts KachelX + 1 53643 KachelY + 1 22919 2.00136556 0.82887824 114.669800 47.491225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82894302-0.82887824) × R
    6.47799999999865e-05 × 6371000     		dl = 412.713379999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82894302-0.82887824) × R
    6.47799999999865e-05 × 6371000     		dr = 412.713379999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00126969-2.00136556) × cos(0.82894302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675655361638838 × 6371000     		do = 412.68203162392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00126969-2.00136556) × cos(0.82887824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675703117179125 × 6371000     		du = 412.711200123877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82894302)-sin(0.82887824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675655361638838-0.675703117179125)×R²
    abs(2.00136556-2.00126969)×4.7755540287131e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7755540287131e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7755540287131e-05×40589641000000     		ar = 170325.415311069m²