Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53641 / 50191
↖ ↑ ↗
← S 68.686524°
E114.658813°		 ← 222.03 m → S 68.686524°
E114.664307°		 →
↑
221.97 m
↓
↑
221.97 m
↓
S 68.688520°
E114.658813°		 ← 222.01 m →
49 280 m²		 S 68.688520°
E114.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818504333496094 y=0.765861511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818504333496094 × 216)
    floor (0.818504333496094 × 65536)
    floor (53641.5)     		tx = 53641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765861511230469 × 216)
    floor (0.765861511230469 × 65536)
    floor (50191.5)     		ty = 50191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53641 / 50191 ti = "16/53641/50191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53641/50191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53641 ÷ 216
    53641 ÷ 65536     		x = 0.818496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50191 ÷ 216
    50191 ÷ 65536     		y = 0.765853881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818496704101562 × 2 - 1) × π
    0.636993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00117381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765853881835938 × 2 - 1) × π
    -0.531707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67040920416048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00117381} λ = 2.00117381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67040920416048))-π/2
    2×atan(0.188170049914942)-π/2
    2×0.18599516485718-π/2
    0.37199032971436-1.57079632675     		φ = -1.19880600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00117381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.658813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19880600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.686524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53641 KachelY 50191 2.00117381 -1.19880600 114.658813 -68.686524
    Oben rechts KachelX + 1 53642 KachelY 50191 2.00126969 -1.19880600 114.664307 -68.686524
    Unten links KachelX 53641 KachelY + 1 50192 2.00117381 -1.19884084 114.658813 -68.688520
    Unten rechts KachelX + 1 53642 KachelY + 1 50192 2.00126969 -1.19884084 114.664307 -68.688520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19880600--1.19884084) × R
    3.48399999998694e-05 × 6371000     		dl = 221.965639999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19880600--1.19884084) × R
    3.48399999998694e-05 × 6371000     		dr = 221.965639999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00117381-2.00126969) × cos(-1.19880600) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363470350585798 × 6371000     		do = 222.026401591308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00117381-2.00126969) × cos(-1.19884084) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363437893220304 × 6371000     		du = 222.006574961559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19880600)-sin(-1.19884084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363470350585798-0.363437893220304)×R²
    abs(2.00126969-2.00117381)×3.24573654942872e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24573654942872e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24573654942872e-05×40589641000000     		ar = 49280.031915813m²