Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53641 / 15225
↖ ↑ ↗
← N 79.753352°
W 32.670593°		 ← 54.33 m → N 79.753352°
W 32.667846°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.752864°
W 32.670593°		 ← 54.33 m →
2 949 m²		 N 79.752864°
W 32.667846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409252166748047 y=0.116161346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409252166748047 × 217)
    floor (0.409252166748047 × 131072)
    floor (53641.5)     		tx = 53641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116161346435547 × 217)
    floor (0.116161346435547 × 131072)
    floor (15225.5)     		ty = 15225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53641 / 15225 ti = "17/53641/15225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53641/15225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53641 ÷ 217
    53641 ÷ 131072     		x = 0.409248352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15225 ÷ 217
    15225 ÷ 131072     		y = 0.116157531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409248352050781 × 2 - 1) × π
    -0.181503295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.57020942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116157531738281 × 2 - 1) × π
    0.767684936523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.41175335678464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57020942} λ = -0.57020942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41175335678464))-π/2
    2×atan(11.1535000757317)-π/2
    2×1.48137746035109-π/2
    2.96275492070218-1.57079632675     		φ = 1.39195859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57020942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.670593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39195859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.753352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53641 KachelY 15225 -0.57020942 1.39195859 -32.670593 79.753352
    Oben rechts KachelX + 1 53642 KachelY 15225 -0.57016148 1.39195859 -32.667846 79.753352
    Unten links KachelX 53641 KachelY + 1 15226 -0.57020942 1.39195007 -32.670593 79.752864
    Unten rechts KachelX + 1 53642 KachelY + 1 15226 -0.57016148 1.39195007 -32.667846 79.752864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39195859-1.39195007) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39195859-1.39195007) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57020942--0.57016148) × cos(1.39195859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177885967438019 × 6371000     		do = 54.3309532403373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57020942--0.57016148) × cos(1.39195007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177894351547001 × 6371000     		du = 54.3335139630272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39195859)-sin(1.39195007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177885967438019-0.177894351547001)×R²
    abs(-0.57016148--0.57020942)×8.3841089811576e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3841089811576e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3841089811576e-06×40589641000000     		ar = 2949.20362570609m²