Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53638 / 50138
↖ ↑ ↗
← S 68.580453°
E114.642334°		 ← 223.06 m → S 68.580453°
E114.647827°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 68.582459°
E114.642334°		 ← 223.04 m →
49 750 m²		 S 68.582459°
E114.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818458557128906 y=0.765052795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818458557128906 × 216)
    floor (0.818458557128906 × 65536)
    floor (53638.5)     		tx = 53638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765052795410156 × 216)
    floor (0.765052795410156 × 65536)
    floor (50138.5)     		ty = 50138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53638 / 50138 ti = "16/53638/50138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53638/50138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53638 ÷ 216
    53638 ÷ 65536     		x = 0.818450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50138 ÷ 216
    50138 ÷ 65536     		y = 0.765045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818450927734375 × 2 - 1) × π
    0.63690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00088619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.53009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66532789280075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00088619} λ = 2.00088619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66532789280075))-π/2
    2×atan(0.189128633896442)-π/2
    2×0.186920806510867-π/2
    0.373841613021734-1.57079632675     		φ = -1.19695471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00088619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19695471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.580453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53638 KachelY 50138 2.00088619 -1.19695471 114.642334 -68.580453
    Oben rechts KachelX + 1 53639 KachelY 50138 2.00098206 -1.19695471 114.647827 -68.580453
    Unten links KachelX 53638 KachelY + 1 50139 2.00088619 -1.19698972 114.642334 -68.582459
    Unten rechts KachelX + 1 53639 KachelY + 1 50139 2.00098206 -1.19698972 114.647827 -68.582459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19695471--1.19698972) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19695471--1.19698972) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00088619-2.00098206) × cos(-1.19695471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365194399183993 × 6371000     		do = 223.056272694076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00088619-2.00098206) × cos(-1.19698972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365161807056026 × 6371000     		du = 223.036365820915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19695471)-sin(-1.19698972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365194399183993-0.365161807056026)×R²
    abs(2.00098206-2.00088619)×3.25921279666908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25921279666908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25921279666908e-05×40589641000000     		ar = 49750.1937854529m²