Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53636 / 50257
↖ ↑ ↗
← S 68.817912°
E114.631348°		 ← 220.72 m → S 68.817912°
E114.636841°		 →
↑
220.69 m
↓
↑
220.69 m
↓
S 68.819897°
E114.631348°		 ← 220.70 m →
48 709 m²		 S 68.819897°
E114.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818428039550781 y=0.766868591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818428039550781 × 216)
    floor (0.818428039550781 × 65536)
    floor (53636.5)     		tx = 53636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766868591308594 × 216)
    floor (0.766868591308594 × 65536)
    floor (50257.5)     		ty = 50257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53636 / 50257 ti = "16/53636/50257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53636/50257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53636 ÷ 216
    53636 ÷ 65536     		x = 0.81842041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50257 ÷ 216
    50257 ÷ 65536     		y = 0.766860961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81842041015625 × 2 - 1) × π
    0.6368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00069444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766860961914062 × 2 - 1) × π
    -0.533721923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67673687491032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00069444} λ = 2.00069444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67673687491032))-π/2
    2×atan(0.186983130970534)-π/2
    2×0.184848588299221-π/2
    0.369697176598442-1.57079632675     		φ = -1.20109915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00069444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20109915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.817912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53636 KachelY 50257 2.00069444 -1.20109915 114.631348 -68.817912
    Oben rechts KachelX + 1 53637 KachelY 50257 2.00079032 -1.20109915 114.636841 -68.817912
    Unten links KachelX 53636 KachelY + 1 50258 2.00069444 -1.20113379 114.631348 -68.819897
    Unten rechts KachelX + 1 53637 KachelY + 1 50258 2.00079032 -1.20113379 114.636841 -68.819897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20109915--1.20113379) × R
    3.46400000001967e-05 × 6371000     		dl = 220.691440001253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20109915--1.20113379) × R
    3.46400000001967e-05 × 6371000     		dr = 220.691440001253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00069444-2.00079032) × cos(-1.20109915) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361333085033865 × 6371000     		do = 220.720849765758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00069444-2.00079032) × cos(-1.20113379) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361300785206042 × 6371000     		du = 220.701119368128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20109915)-sin(-1.20113379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361333085033865-0.361300785206042)×R²
    abs(2.00079032-2.00069444)×3.22998278238229e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22998278238229e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22998278238229e-05×40589641000000     		ar = 48709.0250133079m²