Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53633 / 85887
↖ ↑ ↗
← S 48.689147°
W 32.692566°		 ← 201.62 m → S 48.689147°
W 32.689819°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 48.690960°
W 32.692566°		 ← 201.62 m →
40 643 m²		 S 48.690960°
W 32.689819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409191131591797 y=0.655269622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409191131591797 × 217)
    floor (0.409191131591797 × 131072)
    floor (53633.5)     		tx = 53633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655269622802734 × 217)
    floor (0.655269622802734 × 131072)
    floor (85887.5)     		ty = 85887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53633 / 85887 ti = "17/53633/85887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53633/85887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53633 ÷ 217
    53633 ÷ 131072     		x = 0.409187316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85887 ÷ 217
    85887 ÷ 131072     		y = 0.655265808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409187316894531 × 2 - 1) × π
    -0.181625366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.57059292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655265808105469 × 2 - 1) × π
    -0.310531616210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.975563844167763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57059292} λ = -0.57059292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975563844167763))-π/2
    2×atan(0.376979735801751)-π/2
    2×0.360505198359198-π/2
    0.721010396718396-1.57079632675     		φ = -0.84978593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57059292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.692566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84978593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.689147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53633 KachelY 85887 -0.57059292 -0.84978593 -32.692566 -48.689147
    Oben rechts KachelX + 1 53634 KachelY 85887 -0.57054498 -0.84978593 -32.689819 -48.689147
    Unten links KachelX 53633 KachelY + 1 85888 -0.57059292 -0.84981757 -32.692566 -48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 53634 KachelY + 1 85888 -0.57054498 -0.84981757 -32.689819 -48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84978593--0.84981757) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84978593--0.84981757) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57059292--0.57054498) × cos(-0.84978593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6601439573579 × 6371000     		do = 201.624956682433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57059292--0.57054498) × cos(-0.84981757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 201.617697820763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84978593)-sin(-0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6601439573579-0.66012019098618)×R²
    abs(-0.57054498--0.57059292)×2.37663717204128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37663717204128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37663717204128e-05×40589641000000     		ar = 40642.5126215908m²